云南省昆明市铜都中学2023年高三数学文模拟试题含解析

云南省昆明市铜都中学2023年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t﹣s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对?x∈[﹣2，2]，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为﹣1，则有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x是奇函数，因此①正确；x∈[﹣2，2]时，[f′（x）]min=﹣4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤﹣4，因此④错误．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[﹣，]内递减，则|t﹣s|的最大值为，因此②错误；且f（x）的极大值为f（﹣）=，极小值为f（）=﹣，两端点处f（﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=﹣，则M+m=0，因此③正确．故选B．【点评】本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．2.设是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是（

）

．若,则

．若则

．若则

．若则参考答案：B3.设全集,，则图中阴影部分表示的集合为（

）A．

B． C．

D．参考答案：B4.若F（c,0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A,B两点，线段AB的中点在直线上，则椭圆的离心率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B【考点】椭圆【试题解析】因为直线在x,y轴上的截距分别为（a,0）,(0,b),所以A（a，0），B（0,b）

又线段AB的中点在直线上，所以即

5.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且时，，则的值为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略6.函数的零点所在的大致区间是A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）参考答案：B7.若，则与的夹角为

（

）A．30°

B．60°

C．150°

D．120°参考答案：A略8.某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为(

)A． B． C． D．参考答案：C试题分析：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：

条件

循环前

0/1

第1圈

1

否

2

第2圈

4

否

3

第3圈

11

否

4

第4圈

26

是

可得，当时，．此时应该结束循环体并输出的值为26

所以判断框应该填入的条件为：

故选C．考点：程序框图9.过抛物线C1：焦点的直线l交C1于M，N两点，若C1在点M，N处的切线分别与双曲线C2：的渐近线平行，则双曲线C2的离心率为A. B. C. D.参考答案：C10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为A、B、C、D、参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为

．参考答案：12.已知是与的等比中项，且，则

参考答案：3略13.曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是．参考答案：x﹣y+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．14.某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=

cm3，表面积S=

cm2．参考答案：;.【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．15.设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．若x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点，则如图四个图象可以为y=f（x）的图象序号是

（写出所有满足题目条件的序号）．参考答案：①②③【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：因为[f（x）ex]′=f′（x）ex+f（x）（ex）′=[f（x）+f′（x）]ex，且x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点，所以f（﹣1）+f′（﹣1）=0；对于①②，f（﹣1）=0且f′（﹣1）=0，所以成立；对于③，f（﹣1）＜0，且a＜0，﹣＜﹣1，得2a﹣b＜0，即b﹣2a＞0，[来源:Zxxk.Com]所以f′（﹣1）＞0，所以可满足f（﹣1）+f′（﹣1）=0，故③可以成立；对于④，因f（﹣1）＞0，f′（﹣1）＞0，不满足f′（1）+f（1）=0，故不能成立，故①②③成立．故答案为：①②③【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．16.,若为实数，，则=_____参考答案：17.函数的定义域是___

___.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P-ABC中，G是棱PA的中点，，且,（Ⅰ）求证：直线BG⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角的正弦值.

参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【分析】(Ⅰ)先证明与平面内的两条相交直线都垂直.(Ⅱ)过点作于点，证是所求二面角，在三角形中求之即可.【详解】（Ⅰ）连接，因为，所以.由已知得，，所以，所以，又，所以平面（Ⅱ）过点作，垂足是，因为是棱的中点，，所以点是的中点.连接，所以.所以就是二面角的平面角.由（Ⅰ）知平面，所以.因为，，所以所以,即二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明和二面角的求解，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求二面角的一般方法是作-证-求或空间向量.19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，该椭圆的离心率为，以M（﹣3，2）为圆心，r为半径的圆与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；（3）若点A的坐标为（0，2），求△ABM的面积．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意求出a=2，结合椭圆离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；（2）由A，B两点关于原点对称，可知O是AB的中点，结合垂径定理可知MO⊥AB，进一步得到直线MO的斜率，得到直线AB的斜率，则直线AB的方程可求，联立直线方程和椭圆方程，求出A的坐标由勾股定理得圆的半径，则圆M的方程可求；（3）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，求得B的坐标，进一步得线段AB的中点E的坐标，求得直线ME的斜率，结合题意列式求得AB的斜率，得到直线AB的方程为y=x+2，求出|AB|，由点到直线的距离公式求得点M到直线AB的距离，代入△ABM的面积公式得答案．【解答】解：（1）由题意可知2a=4，即a=2，又，则，∴b2=，即椭圆C的方程为；（2）∵A，B两点关于原点对称，∴O是AB的中点，由垂径定理可知MO⊥AB，又M（﹣3，2），∴直线MO的斜率为﹣，故直线AB的斜率为，则直线AB的方程为y=x，联立，解得，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，∴圆M的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=；（3）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，联立，得（1+3k2）x2+12kx=0，则B（），线段AB的中点为E（），直线ME的斜率为，∵AB⊥ME，∴?k=﹣1，∴2k3﹣3k2+2k﹣1=0，即（k﹣1）（2k2﹣k+1）=0，解得k=1，∴直线AB的方程为y=x+2，又B（﹣3，﹣1），∴|AB|=3，而点M到直线AB的距离为，故△ABM的面积为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，是直线与圆、圆锥曲线的综合题，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，属有一定难度题目．20.已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC，BC=C1C==1，D是A1C1上的一点，且C1D=kA1C1．（Ⅰ）求证：不论k为何值，AD⊥BC；（Ⅱ）当k=时，求A点到平面BCD的距离；（Ⅲ）DB与平面ABC所成角θ的余弦值为，求二面角D﹣AB﹣C的正切值．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由（Ⅱ）当k=时，D为A1C1的中点证明AD⊥CD，AD⊥面BCD，即可得到AD是点A到平面BCD的距离d（Ⅲ）作DE⊥AC于E，则∠DBE是DB与平面ABC所成的角，作EF⊥AB于F，则DF⊥AB，即∠DFE是二面角D﹣AB﹣C的平面角，解三角形即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面∴C1C⊥平面ABC

即﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）当k=时，D为A1C1的中点此时∴AD2+CD2=2+2=4=AC2∴AD⊥CD；由（Ⅰ）平面BC⊥平面ACD∴平面BCD⊥平面ACD且平面BCD∩平面ACD=CD，又AD⊥CD∴AD是点A到平面BCD的距离d，即；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）作DE⊥AC于E，则∠DBE是DB与平面ABC所成的角，DE=1，∴∴tan∴∴作EF⊥AB于F，则DF⊥AB∴∠DFE是二面角D﹣AB﹣C的平面角此时Rt△AFE∽Rt△ACB，则∴又∴∴tan﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了空间线线垂直、点面距离、空间角的求解，属于中档题．21.选修4－5：不等式选讲已知(a是常数，a∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式的解集．（Ⅱ）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）∴的解为． 5分（Ⅱ）由得,． 7分令,,作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数有两个不同的零点． 10分略22.已知a∈R，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞1，函数y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）由求导公式和法则求出f′（x），求出导函数的零点，然后分a=1，a＞1和a＜1三种情况，分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号，由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区间；（2）由（1）和条件判断出f（x）在[0，a+1]上的单调性，确定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由