云南省昆明市经开第一中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

云南省昆明市经开第一中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若定义在上的函数满足，且，若，则（

）

A.5

B.-5

C.0

D.3参考答案：【知识点】周期性B4【答案解析】B

∵定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x），

∵f（x+1）=f（1-x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=-f（x），

即f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4，

∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1），∵f（1）=5，∴f（2015）=-5．故选：B．【思路点拨】由题意求出函数的周期，转化f（2015）为已知函数定义域内的自变量，然后求值．2.函数的递增区间依次是(

)

A．

B．

C．

D参考答案：答案：C3.将函数y=4x+3的图象按向量a平移到y=4x+16的图象，则向量a可以为

A．（3，1）

B．（－3，－1）

C．（3，－1）

D．（－3，1）参考答案：D4.函数在(m,n)上的导数分别为,且,则当时,有（

）A..

B.C.

D.参考答案：D5.若，且，则的值为A. B.C. D.参考答案：A6.运行如图所示的程序框图，当输入x的值为5时，输出y的值恰好是，则处的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=x C．y=5﹣x D．y=5x参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】由题意，执行程序框图，写出得到的x的值，然后逐一检验4个选项的关系式即可．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1≠，不正确．B，y=（﹣1）=﹣1≠，不正确．C，y=5﹣（﹣1）=5≠，不正确．D，y=5﹣1=，正确．故选：D．7.已知实数x，y满足不等式组则的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略8.定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内是A.减函数且 B.减函数且C.增函数且 D.增函数且参考答案：B本题主要考查函数的奇偶性和单调性。由此可知函数的周期为2，根据复合函数判断可知函数利用函数和周期性可知B正确.9.已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R）则z的虚部为（）A．－1

B．1

C．i

D．－i参考答案：B因为,所以,z的虚部为1,选B

10.已知集合则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正实数x，y满足2x+y=2，则x+的最小值

．参考答案：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】由y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．则=x+=x+=f（x），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：x＞0，y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．则=x+=x+=f（x），f′（x）=1+，令f′（x）=0，解得x=．则可得x∈时，f′（x）＜0；x∈时，f′（x）＞0．∴x=，y=时，函数f（x）取得极小值即最小值+=，故答案为：．12.若，则=

.参考答案：，即.，；13.若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为

．参考答案：14.点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为

.参考答案：15.（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；②若y=f（x）是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥；③若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）参考答案：①③④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明④的正误．解：①容易证明正确．函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；﹣1就是它的均值点．②不正确．反例：f（x）=x在区间上．③正确．由定义：得，又x0∈（﹣1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．④正确．理由如下：由题知．要证明，即证明：，令，原式等价于．令，则，所以得证．故答案为：①③④．【点评】：本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．16.已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，底面，＝2，是中点，则异面直线所成角的大小为（用反三角函数表示）．参考答案：答案:（等）17.已知为奇函数,且满足不等式,则实数的值为

.参考答案：【知识点】函数奇偶性的性质．L4

【答案解析】

解析：不等式≤0等价于或，解得，或，即有﹣3≤m＜0或1＜m≤3，①∵f（x）=tanx+cos（x+m）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即tan（﹣x）+cos（﹣x+m）=﹣tanx﹣cos（m+x），∴cos（﹣x+m）=﹣cos（x+m），∴cosmcosx+sinmsinx=﹣cosmcosx+sinmsinx，∴cosm=0，m=k，k为整数，②∴由①②得，m=±．故答案为：±．【思路点拨】首先解不等式≤0，得到﹣3≤m＜0或1＜m≤3，①再根据f（x）=tanx+cos（x+m）为奇函数，由奇函数的定义，以及应用三角恒等变换公式，求出m=k，k为整数，②，然后由①②得，m=±．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共14分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．（I）求证：平面平面；（II）求异面直线与所成角的大小．参考答案：解析：解法一：（I）由题意，，，是二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．

（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角的大小为．解法二：（I）同解法一．（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．异面直线与所成角的大小为．19.已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（Ⅰ）当点D与点A不重合时（如图①），证明ED2=EB?EC；（Ⅱ）当点D与点A重合时（如图②），若BC=2，BE=6，求⊙O2的直径长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AB，在EA的延长线上取点F，证明∠ABC=∠DAE，∠DAE=∠ADE，可得EA=ED，利用EA2=EB?EC，即可证明结论；（Ⅱ）证明AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径，由切割线定理知：EA2=BE?CE，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB，在EA的延长线上取点F．∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC=∠ABC，．…∵∠FAC=∠DAE，∴∠ABC=∠DAE，∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，∴∠ABC=∠ADE，…∴∠DAE=∠ADE．…∴EA=ED，∵EA2=EB?EC，∴ED2=EB?EC．…（Ⅱ）解：当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，∴直线CA与⊙O2相切．…如图②所示，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，∵∠PAC=∠MAE，∴∠ABC=∠ABE=90°∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径．…∴由切割线定理知：EA2=BE?CE，而CB=2，BE=6，CE=8∴EA2=6×8=48，AE=．故⊙O2的直径为．…20.本小题14分）已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在轴上，左右焦点分别为，且=2,点在该椭圆上。（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上的一点在第一象限，且满足,圆的方程为．求点坐标，并判断直线与圆的位置关系；（3）设点为椭圆的左顶点，是否存在不同于点的定点,对于圆上任意一点,都有为常数，若存在，求所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为，

------------1分由点在该椭圆上，.又得，--3分,故椭圆的方程为.

----4分（2）设点P的坐标为,则-----------①由得，∴，即-②-5分由①②联立结合解得：，即点P的坐标为

--7分∴直线的方程为∵圆的圆心O到直线的距离∴直线与⊙O相切---------9分（3）的坐标为，则，假设存在点，对于上任意一点,都有为常数，则,∴(常数)恒成立

------11分又x2+y2=4,

可得:恒成立∴∴或（不合舍去）

--------13分∴存在满足条件的点B，它的坐标为．

------------------------14分

略21.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（I）求数列{an}的通项；（Ⅱ）设数列{bn﹣an}是等比数列，且b2=7，b5=91，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）由于b2﹣a2=7﹣4=3，b5﹣a5=91﹣10=81，设等比数列{bn﹣an}的公比为q，可得81=3q3，解得q=3．可得bn﹣an=．解答： 解：（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a2，a4，a8成等比数列，∴，∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），化为d2﹣2d=0，d≠0．解得d=2．∴an=2+2（n﹣1）=2n．（II）b2﹣a2=7﹣4=3，b5﹣a5=91﹣10=81，设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则81=3q3，解得q=3．∴bn﹣an==3×3n﹣2=3n﹣1．∴数列{bn}的前n项和Tn==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.(本题满分13分)某班几位同学组成研究性学习小组，对岁的人群随机抽取n人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查.若生活习惯具有环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”，得到如下统计表：组数分组环保族人数占本组的频率本组占样本的频率第一组1200.60.2第二组195pq第三组

100:]0.50.2第四组a0.40.15第五组300.30.1第六组150.30.05（Ⅰ）求q、n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在的概率.参考答案：解:（Ⅰ）第二组的频率为：q=1-（0.2+0.2+0.15+0.1+0.05）=0.3第一组的人数为，第一组的频率为0.2

所以：

第二组人数为1000×q=1000×0.3=300

所以：

第四组人数a=1000×0.15=150

所以：a=150×0.4=60（Ⅱ）因为年龄段的“环保