云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县民族中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县民族中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的项和为，且满足，则数列的公差是A. B.1 C.2 D.3参考答案：C略2.平面//平面的一个充分条件是A.存在一条直线

B.存在一条直线

C.存在两条平行直线

D.存在两条异面直线参考答案：D3.定义在R上的函数，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C4.将4个不同颜色的小球全部放入不同标号的3个盒子中，可以有一个或者多个盒子空着的放法种数为

A．96

B．36

C．64

D．81参考答案：D略5.如图内切于扇形AOB，∠AOB＝，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为A.

B.

C.

D.

参考答案：C6.函数的图象大致是（

）参考答案：B7.已知数列=

A．4

B．2

C．1

D．-2参考答案：A当时，，所以，当时，，即，选A.8.设函数，若时，有，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.已知圆的方程为，过点的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为(

).参考答案：C略10.函数f(x)=在[－π，π]的图像大致为A． B．C． D．参考答案：D∵，∴为奇函数，排除A，又，排除C，，排除B，故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以下命题：①若则∥；②在方向上的投影为；③若△中,则；④若非零向量、满足，则.其中所有真命题的标号是

▲

.参考答案：①②④12.（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，是半圆上异于的点，，垂足为.若，，则半圆的面积为

．参考答案：13.已知向量且则的值是____________参考答案：略14.若△ABC的内角，满足成等差数列，则cosC的最小值是______．参考答案：

15.已知向量，向量在向量方向上的投影为，且，则

．参考答案：5设向量与间的夹角为.∵∴∵∴∵向量在向量方向上的投影为∴，即∴∴故答案为.

16.已知函数，若，则的值为

．参考答案：4依题意函数f(x)的自变量满足，即，此时恒成立∴∴∴故答案为4.17.已知集合A＝与B＝，若,则的范围是_______参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组……第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（II）设、表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知.求事件“”的概率.参考答案：,所以该班成绩良好的人数为27人.（2）由直方图知，成绩在的人数为人，设为、、；成绩在的人数为人，设为、、、.若时，有3种情况；若时，有6种情况；若分别在和内时，

ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共有12种情况.所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种.∴P（）=

19.如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，BD⊥AC于O，且AA1=OC=2OA=4，点M是棱CC1上一点．（Ⅰ）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l∥AB；（Ⅱ）当M是棱CC1中点时，求证：A1O⊥DM；（Ⅲ）设二面角A1﹣BD﹣M的平面角为θ，当|cosθ|=时，求CM的长．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明l∥AB；（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明A1O⊥DM；（Ⅲ）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以A1B1BA是平行四边形．所以A1B1∥AB．因为A1B1?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以A1B1∥平面ABCD．因为平面A1BO∩平面ABCD=l，所以l∥A1B1．所以l∥AB．（Ⅱ）因为DB⊥AC于O，如图建立空间直角坐标系．因为AA1=4，且OC=2AO=4，

所以O（0，0，0），C（4，0，0），A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，4）．因为M是棱CC1中点，所以M（4，0，2）．设D（0，b，0），所以=（4，﹣b，2），=（﹣2，0，4）．所以?=﹣8+0+8=0．所以A1O⊥DM．（Ⅲ）设D（0，b，0），B（0，c，0），平面A1BD的法向量为=（x，y，z），又因为，，所以，即．因为b≠c，所以y=0，令z=1，则x=2，所以=（2，0，1）．设M（4，0，h），所以=（﹣4，b，﹣h），．设平面MBD的法向量为=（x，y，z），所以，即．因为b≠c，所以y=0，令z=1，则x=，所以=（，0，1）．又因为|cosθ|=，所以|cos＜＞|=，即==．解得h=3或h=．所以点M（4，0，3）或M（4，0，）．所以CM=3或CM=．【点评】本题主要考查空间直线垂直以及线面垂直平行的性质定理的应用，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间二面角的常用方法．20.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的参数方程为（θ是参数），直线l的极坐标方程为（ρ∈R）（Ⅰ）求C的普通方程与极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．参考答案：考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由sin2θ+cos2θ=1，可得圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到圆的极坐标方程；（Ⅱ）由于圆经过原点，由圆的极坐标方程，代入，计算即可得到弦长．解答： 解：（Ⅰ）由sin2θ+cos2θ=1，可得圆C的普通方程是（x﹣）2+（y﹣）2=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，又x2+y2﹣x=0，即有ρ2=ρ（cosθ+sinθ），即有圆的极坐标方程是ρ=2cos（θ﹣）；

（Ⅱ）由圆的极坐标方程可得，当时，ρ=2cos（﹣）=2×=，故|AB|=．点评：本题考查参数方程和普通方程及极坐标方程的互化，同时考查极坐标方程的运用，属于基础题．21.（本小题共13分） 设为曲线在点处的切线。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方。参考答案：22.（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形为正方形，，平面平面，且,，点G是EF的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点在线段上，且，求证：//平面；（Ⅲ）已知空间中有一点O到五点的距离相等，请指出点的位置.(只需写出结论)

参考答案：（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）点为线段的中点.试题分析：（Ⅰ）由面面垂直性质定理，可得线面垂直：平面，再由线面垂直性质定理可得.注意写全定理条件（Ⅱ）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用平几知识，可过点作//，且交于点，从而可推出//，.即四边形是平行四边形.所以.（Ⅲ）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可找出满足条件的点为的中点.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为，点G是EF的中点，

所以.

…1分

又因为，

所以.

…2分

因为平面平面，且平面平面，平面，

所以平面.

…4分

因为平面，

所以.

…5分（Ⅱ）证明：如图，过点作//，且交于点，连结，

因为，所以，

…6分

因为，点G是EF的中点，

所以，