任意角课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

任意角

现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等．这些现象都可以用三角函数刻画．问题提出

过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“前空翻转体5400”、“后空翻转体7200”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.

思考1：角是如何定义的？①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；图2图1知识探究（一）：角的概念的推广②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图2）.角的始边角的终边角的顶点ABOABO思考2：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的。一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？

思考3：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，对角作以下规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.你能用图形表示这些角吗？

画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.βB2γAB1αO结论：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小.xoy思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？

知识探究（二）：象限角象限角：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.－50°xyoxyo210°－450°xyo－200°xyo练习1：－50°，210°,－200°，－450°

分别是第几象限的角练习2：锐角是第几象限角?第一象限角是锐角吗？钝角、直角呢？练习3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.知识探究（三）：终边相同的角结论：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，用描述法表示集合S，则：

思考1：在直角坐标系中，30°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是30°吗？除了30°还有哪些角？它们具有什么关系？yx

所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以表示为

例1在0°～360°范围内，找出与－30°角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

330°，第四象限角.练习：找出与405°角终边相同的角，并判断它是第几象限角.例2分别写出终边在x轴正半轴、负半轴上的角的集合，y轴正半轴、负半轴上的角的集合，x轴、y轴上的角的角的集合.

x轴：y轴：yxx轴正半轴：x轴负半轴：y轴正半轴：y轴负半轴：例3第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？

一：{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；二：{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；三：{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；四：{α|－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}.yx例4写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤＜720°的元素写出来.

S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，

225°，405°，585°.思考：如果α是第二象限的角，那么2α、2α/2分别是第几象限的角？90°＋k·360°<α<180°＋k·360°180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°知识探究（三）：终边相同的角第三象限的角或第四象限的角或第一、三象限的角解析：角的终边在y轴负半轴上yx

角的概念推广后，角的大小可以任意取