实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题理含解析

黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题理含解析黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题理含解析PAGE28-黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题理含解析黑龙江省实验中学2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析）考试时间：120分钟总分:150分一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分）1。已知集合，,则（)A。 B. C. D。【答案】D【解析】【分析】根据补集和交集的定义运算即可．【详解】解:故选【点睛】本题考查集合的交补混合运算，属于基础题．2。下列叙述正确的是（）A。命题“p且q”为真，则恰有一个为真命题B。命题“已知,则“"是“”的充分不必要条件"C.命题都有，则，使得D.如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点【答案】C【解析】【分析】由p且q的真值表，可判断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误;由函数零点存在定理可判断正误。【详解】解：对于A，命题“P且q为真，则P,q均为真命题”，故错误；对于B，“a＞b”推不出“a2＞b2”，比如a＝1,b＝﹣1;反之也推不出，比如a＝﹣2，b＝0，“a＞b"是“a2＞b2”的不充分不必要条件,故错误;对于C,命题都有,则，使得，故正确；对于D，如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b)＜0，由零点存在定理可得函数y＝f（x）在区间(a，b）内有零点，故错误．其中真命题的个数为1,故选C．【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断,以及函数零点存在定理和函数的单调性的判断,考查判断能力和运算能力,属于中档题．3。在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（）A。 B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则,化简复数得到复数的共轭复数,从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．【详解】复数,复数的共轭复数是,就是复数所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；故选B．【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法,两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．4.如图,是水平放置的的直观图,则的面积是（）A.6 B. C. D。12【答案】D【解析】由直观图画法规则,可得是一个直角三角形,直角边，，故选D。5.已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则②若,，且,则③若,，且，则④若,，且，则其中正确的命题是（)A。②③ B。①③ C.①④ D.③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断;③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断。解析：①若，，且，则,正确.，且，可得出或，又，故可得到.②若,，且，则，不正确.两个面平行与同一条线平行,两平面有可能相交。③若，，且，则，不正确.且，可得出，又，故不能得出。④若，，且，则，正确.且,可得出，又，故得出。故选：C.点睛：解决空间位置关系问题的方法(1）解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义,然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2）解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正（长)方体模型来解决问题．6。已知直线过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线的方程为（）A。 B。C。或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据题意，分直线是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线方程,即可得答案．【详解】根据题意,直线分2种情况讨论:①当直线过原点时，又由直线经过点,所求直线方程为，整理为,②当直线不过原点时,设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为,整理为．故直线的方程为或。故选D．【点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．7.已知函数f(x）＝ex＋x，g（x)＝lnx＋x，h(x）＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则()A.a<b〈c B.c〈b〈aC。c〈a<b D.b〈a<c【答案】A【解析】【分析】由，,分别为f（x）＝ex＋x，g(x）＝lnx＋x，h（x）＝lnx－1的零点,所以依次代入得,，,得，，的关系式,判断取值范围，比较大小【详解】∵ea＝－a，∴a〈0，∵lnb＝－b，且b〉0，∴0〈b<1，∵lnc＝1，∴c＝e〉1，故选A。【点睛】根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围8.由直线上一点P向圆C：引切线，则切线长的最小值为（）A。 B. C. D.1【答案】D【解析】分析】由切线性质,切线长等于，因此只要最小即可，此最小值即为到直线的距离．【详解】点P为直线上到圆心C距离最小的点时，切线长最小，故有．切线长最小值为：．故选D．【点睛】本题考查切线的性质，考查点到直线的距离公式．属于基础题．9.已知直线：与抛物线相交于、两点，且满足，则的值是（）A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，过分别作准线的垂线，由，得到点为的中点、连接，进而可知，由此求得点的横坐标，则点的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【详解】解：抛物线的准线,直线：恒过定点，

如图过分别作准线的垂线,垂足分别为；

由，则，所以点为的中点、连接，

则，

∴在中,,为等腰三角形，点的横坐标为，

故点的坐标为，

又,

所以,

故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义,考查直线斜率的计算，属于中档题．10。过双曲线的右支上一点,分别向圆和圆作切线，切点分别为,则的最小值为(）A.10 B.13 C。16 D。19【答案】B【解析】试题分析：由题可知,，因此，故选B．考点：圆锥曲线综合题．11.设椭圆C:(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足，|FB｜≤｜FA|≤2｜FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（)A。 B。C。 D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆左焦点为，由椭圆的对称性可知且，可得四边形AFBF′为矩形,设｜AF′|＝n,|AF|＝m，根据椭圆的定义以及题意可知mn＝2b2，从而可求得的范围,进而可求得离心率.【详解】设椭圆左焦点为，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以｜AB|＝|FF′|＝2c.设｜AF′｜＝n，｜AF｜＝m，则在Rt△F′AF中，m＋n＝2a①,m2＋n2＝4c2②，联立①②得mn＝2b2③.②÷③得，令＝t，得t＋.又由｜FB｜≤｜FA|≤2｜FB｜得＝t∈[1，2］，所以t＋∈。故椭圆C的离心率的取值范围是。故选:A【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围的求法,考查了椭圆焦点三角形问题，需掌握椭圆的定义，属于中档题。12.设函数在上存在导函数,，有，在上有，若，则实数的取值范围为（）A. B.C。 D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，将变形为，再利用的单调性解不等式即可.【详解】令,，有，．所以为R上的偶函数，又在上有，所以，即在上单调递增，在上单调递减。又，所以，即,，解之得，。故选B.【点睛】本题主要考查构造函数并研究其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现数学运算、逻辑推理等核心素养,属难题。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13。已知点是内部一点,并且满足，的面积为，的面积为，则______.【答案】【解析】【分析】将化为，再构造向量和,得出比例关系，最后求解【详解】因为，所以，分别取,的中点，，则,.所以，即,，三点共线且.如图所示，则，由于为中点,所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题。14。已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且双曲线的渐进线方程为，则此双曲线方程为_________【答案】【解析】【分析】根据双曲线的渐进线方程为，设双曲线，计算椭圆焦点为,根据双曲线焦点公式得到答案.【详解】的焦点为:双曲线的渐进线方程为，则设双曲线方程为：，焦点为故，双曲线方程为故答案为【点睛】本题考查了求双曲线方程，根据渐近线设双曲线为是解题的关键.15.在中，角的对边分别，满足，则的面积为_____．【答案】【解析】【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B，进而可求a，然后结合余弦定理可求c，代入S△ABCacsinB，计算可得所求．【详解】把a2﹣2a(sinBcosB）+4＝0看成关于a的二次方程，则△≥0，即8（sinBcosB）2﹣16≥0，即为8（sin（B））2﹣16≥0,化为sin2(B)≥1，而sin2（B）≤1，则sin2（B）＝1，由于0＜B＜π，可得B，可得B，即B,代入方程可得，a2﹣4a+4＝0，∴a＝2，由余弦定理可得，cos,解可得,c＝2∴S△ABCacsinB2×2．故答案为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16。如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________。【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由，求得，得到,进而求得三角形的面积的最小值，得到答案。【详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以为z轴,建立空间直角坐标系.则点，所以。因为，所以,因为，所以,所以，因为B（2,2,0）,所以,所以因为，所以当时，.因为BC⊥BP，所以。故答案为：。【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力,属于中档试题。三、解答题（本大题共6小题，第17题10分,其余小题每题12分，共70分）17.已知函数，且的解集为。(1）求的值；（2）若正实数，满足。求的最小值。【答案】(1）（2）9【解析】试题分析：（1）由得,解得其解集为，即可得到实数的值；（2）由（1)知，又是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值。试题解析：（1）因为所以由得由有解，得，且其解集为又不等式解集为，故（2）由（1)知，又是正实数,由柯西不等式得当且仅当时取等号故的最小值为918.设数列的前项和为，且。（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2)若,令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）利用，可知数列为等比数列，由此求得其通项公式。（2）先求得的表达式，利用裂项求和法求的前项和.试题解析:（1）当时，，所以，当时，,，两式相减得，所以。因此是首项为，公比为的等比数列。于是.（2）由,所以，.19。已知函数。（1）求函数的单调递增区间和对称中心；（2）当时，方程有解，求实数的取值范围．【答案】(1）对称中心为(,1），(k∈Z）．单调递增区间为［kπ，kπ］,（k∈Z）．（2）［，］.【解析】【分析】（1）利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称中心;利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数ysin（2x）在上的最值即得的取值范围．【详解】(1)∵函数f（x）sin（2x)+1,∴令2xkπ，解得x，∴对称中心为（，1），(k∈Z）．由ysin（2x）的减区间满足：2kπ2x2kπ，（k∈Z）,解得kπx≤kπ，∴函数f（x）sin（2x）+1的单调递增区间为［kπ,kπ]，（k∈Z）．（2）方程有解，即为sin（2x)=m有解，令ysin（2x）则当时，2x∈[，]，∴当2x,即x时，函数ysin（2x）取得最大值1，当2x，即x时，函数f（x）取得最小值．∴y∈［，],即m∈[，]。【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域以及它的图象的对称性，考查了方程有解的问题的转化，属于中档题．20.如图，直三棱柱中，,,分别为、中点。（1)证明：平面;（2）已知与平面所成的角为,求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明(2）【解析】【分析】解法1：（1)建立空间直角坐标系,利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；(2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值。解法2：（1）取中点,连接、，易证平面，再证明,可得平面（2)设，利用与平面所成的角为得到的值,再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1)同解法2（2）设,利用三棱锥等体积转化,得到到面的距离,利用与平面所成的角为得到与的关系，解出，在两个平面分别找出垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．设，，则,，,，，，，,．因为，，所以，,面,面，于是平面．（2)设平面的法向量，则，,又，，故,取,得．因为与平面所成的角为,，所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，，所以二面角的余弦值为．解法2:（1）取中点，连接、,，平面，平面,而平面，平面，平面．为中点，,，，，四边形为平行四边形，．平面．（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．设,,，则，,．设平面的法向量，则，,又，,故,取,得．因为与平面所成的角为,,所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，所以二面角的余弦值为．解法3：（1）同解法2．（2）设，，则，,，,，到平面距离，设到面距离为，由得,即．因为与平面所成的角为，所以,而在直角三角形中，所以，解得．因为平面，平面,所以，平面，平面所以,所以平面，平面,平面所以为二面角的平面角，而，可得四边形正方形,所以,所以二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题。21.椭圆的离心率是，过点P(0，1)做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点,当直线l垂直于y轴时．(1)求椭圆E的方程；（2）当k变化时，在x轴上是否存在点M(m，0）,使得△AMB是以AB为底的等腰三角形,若存在求出m的取值范围,若不存在说明理由．【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为．有根据题意得到椭圆过点，将坐标代入方程后求得,进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点,使得是以为底的等腰三角形,则点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程,在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围．【详解】（