薄板弯曲问题的有限元法

会计学1薄板弯曲问题的有限元法22、基本假设（克希霍夫假设）

1）直线假设：即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，且垂直于弯曲后的中面。说明在平行于中面的面上没有剪应变，即第1页/共24页32）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即。由于板内各点的挠度与z坐标无关，只是x，y的函数，即3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，（薄板中面内的各点都没有平行中面的位移）即纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题进行计算。横向荷载：将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。第2页/共24页4二、基本方程

1）几何方程积分可得绕x轴转角绕y轴转角分别表示薄板弯曲曲面在x，y方向的曲率表示薄板弯曲曲面在x，y方向的扭率变形前的直线变形后的直线zxz第3页/共24页52）物理方程（广义胡克定律）写为矩阵形式：第4页/共24页63）内力矩公式及平衡方程 单位宽度上垂直x，y轴的横截面上弯矩、扭矩xyzδ第5页/共24页7图中力矩双箭头方向表示是力矩的法线方向，列平衡方程：由应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。第6页/共24页8应力分量表达式第7页/共24页9三、矩形薄板单元分析用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板中面进行离散，常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角。1.设位移函数mjil节点位移分量和节点力分量第8页/共24页10 薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y)的选取。注意单元有12个自由度，则另两个转角为：第9页/共24页11

待定系数：利用12个节点位移值可待定12个系数，整理w(x,y)为插值函数形式：其中，形函数：第10页/共24页122.单元收敛性分析：

1）位移函数中包含有常量项，反映了刚体位移，如为扰度常量，为转角常量。

2）位移函数中包含了常量应变项，如形变分量为：

表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里的常应变为扰度的二次函数，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其形变是指不同厚度上的。第11页/共24页13

3）相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。 设边界ij边y=-b则有位移 四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。

如对于绕x轴的转角： 四个系数不能通过i，j的两个已知转角值唯一待定；同理，相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连续。

所以，薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实解。第12页/共24页143.单元刚度矩阵

1）应变矩阵

其中：[B]为x，y的函数，与z无关第13页/共24页152）单元刚阵第14页/共24页164.总刚矩阵集成按平面问题的有限元法介绍的方法可集成得到结构的总刚矩5.载荷移置∑6.边界条件出来7.求解线性方程组

第15页/共24页17四.三角形薄板单元1.面积坐标

三角形单元的面积坐标定义:如图示三角形单元中，任意一点P的位置可以用下面3个比例确定。其中A为△ijm的面积，Ai，Aj，Am分别为△Pjm，△Pim，△Pij的面积。比值Li，Lj，Lm就称为P点的面积坐标。ijmp第16页/共24页18实际为三角形的高与高的比，即平行jm线的直线上的所有点有相同的。同时，易得即，三角形内与任一条边平行的直线上的所有点有相同的面积坐标。比较面积坐标与平面三角形单元形函数可知，面积坐标正是平面三节点三角形单元的三个形函数。面积坐标与整体坐标之间的变换。第17页/共24页192、位移函数三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的节点位移仍然为节点处的挠度wi和绕x，y轴的转角θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式，则有10个参数：若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项，则无法保证对称。经过多种选择，采用面积坐标比较合理可行。对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以下项：第18页/共24页20将三个节点的位移和面积坐标代入上式，可得：α1=wi，α2=wj，

α3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得将节点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于α4~α9的方程，求解后可得α4~α9：第19页/共24页21第20页/共24页22最后，待定常数α1~α9代入位移模式，整理后得：

将w,Lii和w,Lji变换成θxi、θyi，从而得到相应于θxi