第讲广义积分

会计学1第讲广义积分第五章一元函数的积分第五节广义积分第1页/共82页

我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分.在科学技术和工程中，往往需要计算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分.这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广.

我们将运用极限的方法来完成这个工作.第2页/共82页一、无穷积分——无穷区间上的广义积分1.无穷积分的概念第3页/共82页第4页/共82页例1解能否将这里的书写方式简化？第5页/共82页这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.第6页/共82页例2解第7页/共82页例3解第8页/共82页例4解第9页/共82页例5解第10页/共82页例5解第11页/共82页综上所述，第12页/共82页2.无穷积分的基本运算性质其它类型的无穷积分的情形类似于此.第13页/共82页例6解罗第14页/共82页例7解第15页/共82页例8解第16页/共82页第17页/共82页3.无穷积分敛散性的判别法第18页/共82页定理第19页/共82页证第20页/共82页定理（比较判别法）第21页/共82页证第22页/共82页第23页/共82页定理（比较判别法的极限形式法）第24页/共82页例9解读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.第25页/共82页定理（柯西极限判别法）第26页/共82页证第27页/共82页第28页/共82页例10解第29页/共82页例11解第30页/共82页例12解第31页/共82页下面介绍两个有关函数乘积的无穷积分敛散性的判别法第32页/共82页定理（阿贝尔判别法）有关证明请参看

《微积分学教程》第二卷第三分册

Г.M.菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社1954.第33页/共82页定理（狄利克雷判别法）有关证明请参看

《微积分学教程》第二卷第三分册

Г.M.菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社1954.第34页/共82页例13解第35页/共82页4.无穷积分的绝对收敛性第36页/共82页定理第37页/共82页证第38页/共82页定理（柯西判别法）该定理的证明请读者自己完成.第39页/共82页例14解第40页/共82页二、瑕积分1.瑕积分的概念——无界函数的广义积分(1)瑕点的概念第41页/共82页(2)瑕积分的概念第42页/共82页类似地，可定义第43页/共82页与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式：这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了.第44页/共82页2.瑕积分基本运算性质第45页/共82页例15解第46页/共82页例16解

有问题没有？第47页/共82页例16解第48页/共82页例17解第49页/共82页例18解不存在第50页/共82页第51页/共82页例19解第52页/共82页综上所述，得第53页/共82页2.瑕积分敛散性的判别法

瑕积分敛散性的判别法与无穷积分的情形类似，我们仅介绍常用的方法.第54页/共82页定理（瑕积分的比较判别法）第55页/共82页定理（比较判别法的极限形式法）第56页/共82页定理（瑕积分的柯西极限判别法）第57页/共82页例19解第58页/共82页例20解罗第59页/共82页例21解柯西判别法比较判别法第60页/共82页例22解第61页/共82页三、广义积分的柯西主值第62页/共82页无穷积分的柯西主值第63页/共82页例23解由此例想到一点什么没有?第64页/共82页第65页/共82页第66页/共82页例24解第67页/共82页第68页/共82页第69页/共82页比较判别法的极限形式第70页/共82页第71页/共82页第72页/共82页下面证明这个递推关系式第73页/共82页第74页/共82页例