第讲一元微积分应用三

会计学1第讲一元微积分应用三一、幂级数的解析运算三、函数展开为幂级数四、函数展开为幂级数应用举例第六章一元微积分的应用第四节函数展开为幂级数二、泰勒级数第1页/共49页一、幂级数的解析运算1幂级数在其收敛区间内具有内闭一致收敛性.该性质的证明与阿贝尔定理的证明类似.将函数项级数与构造的一个常数项级数进行比较即可.该定理归功于数学家魏尔斯特拉斯.第2页/共49页魏尔斯特拉斯Weierstrass,K.W1815—1897

数学家魏尔斯特拉斯1815年10月31日出生于德国的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名受过高等教育的政府官员，颇具才智，但对子女相当专横。魏尔斯特拉斯11岁丧母，翌年其父再婚。他有一个弟弟和两个终身未嫁的妹妹，她们一直在生活上照顾终身未娶的魏尔斯特拉斯。1834年其父将他送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋取政府高级职位创造条件。第3页/共49页

魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，并令人惊讶地放弃了即将获得的法学博士学位，离开了波恩大学。在其父亲的一位朋友的建议下，再一次被送到一所神学院学习。后来参加并通过了中学教师资格国家考试，在一所任教。在此期间他撰写了4篇直到他的全集刊印时才问世的数学论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想和基本结构。1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心撰写“阿贝尔函数”的论文，并于1854年发表于《克雷尔杂志》上。这篇出自一个名不见经传的中学体育教师的杰作，引起了数学界的瞩目。第4页/共49页1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师，并享受一年的研究假期。1856年6月14日柏林皇家综合科学校任命他为数学教授，他欣然地接受了聘书。同年的11月19日他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授，在此期间魏尔斯特拉斯着手系统地建立数学分析基础，进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些工作主要是通过他在该校讲授大量的课程完成的。短短几年他就闻名遐尔,成为德国以至全欧洲知名度最高的教授。1873年他出任柏林大学校长，从此他成为一个大忙人。繁杂的公务几乎占去了他的全部时间，紧张的工作影响了他的健康，使他疲惫不堪，但他的智力未见衰退，研究工作仍继续进行。第5页/共49页1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，引发肺炎,医治无效，于1897年2月19日与世长辞，享年82岁。除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员（1856年）、巴黎科学院院士（1868年）、英国皇家学会会员（1881年）。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视为德意志的民族英雄。魏尔斯特拉斯是数学分析算术化的完成者、解析函数论的奠基人，是无与伦比的大学数学教师。第6页/共49页

幂级数的解析运算2幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性.第7页/共49页

幂级数的解析运算3幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性在幂级数的收敛区间内,其和函数连续,故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然,幂级数也在其收敛区间内可积.逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变.第8页/共49页首项为x,

公比为x.例1解第9页/共49页

符合积分要求了分析例2第10页/共49页

等比级数例2解第11页/共49页

幂级数的解析运算4幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但要注意：由于常数的导数为零,故有些幂级数在求导后要改变下标的起始值.第12页/共49页例3解由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得第13页/共49页第14页/共49页

请自己完成例4分析第15页/共49页在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后,得到一个新的幂级数,且它与原幂级数具有相同的收敛半径.如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分.就是说,在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性.

幂级数的性质多好啊！第16页/共49页

如何将函数表示为幂级数?怎么做？第17页/共49页二、泰勒级数第18页/共49页

将函数展开为幂级数得的问题是否就是将函数展开为泰勒级数的问题?第19页/共49页一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数,即它的和函数:任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢?即是否有工程需要泰勒公式问题第20页/共49页回忆泰勒中值定理的构建过程第21页/共49页按照上面的方法不断地做下去,是否有下面的结论:

等号成立吗？

该级数收敛吗？

即算级数收敛,其和函数等于f(x)

吗？第22页/共49页定理第23页/共49页证由定理的条件可知,且其和函数于是有第24页/共49页由数学归纳法,得该定理说明,幂级数的和函数,则该幂级数一定是下列形式:第25页/共49页

定理和定义给我们提供了什么信息?定义第26页/共49页定理和定义告诉我们：处有任意阶导数,则它就有一个相应的泰勒级数存在.但此泰勒级数不一定收敛,

即算收敛,其和函数也不一定等于就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是条件的.内可表示为幂级数的形式,则该幂级数一定是函数f(x)

的泰勒级数.第27页/共49页问题第28页/共49页回忆泰勒中值定理的构建过程由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有?第29页/共49页定理第30页/共49页证

余下的工作由学生自己完成.第31页/共49页第32页/共49页推论第33页/共49页证（提示）自己做!第34页/共49页马克劳林级数第35页/共49页就可写出它的泰勒级数.但它的泰勒级数不一定收敛,只有当拉格朗日余项时,泰勒级数才收敛于一个函数如果能够展开为幂级数形式,则该幂级数一定是它的泰勒级数,且这种展开是唯一的.即使收敛,其和函数第36页/共49页三、函数展开为幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法第37页/共49页该方法是先求出函数写出它的泰勒级数,然后,判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足确定级数的收敛区间.直接展开法第38页/共49页例4解第39页/共49页第40页/共49页例5解第41页/共49页第42页/共49页从一些已知函数的泰勒展开式出发,利用幂级数