2023年山西省忻州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年山西省忻州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.图示为研磨细砂石所用球磨机的简化示意图，圆筒绕0轴匀速转动时，带动筒内的许多钢球一起运动，当钢球转动到一定角度α=50。40时，它和筒壁脱离沿抛物线下落，借以打击矿石，圆筒的内径d=32m。则获得最大打击时圆筒的转速为()。

A.8．99r／minB.10．67r／minC.17．97r／minD.21．35r／min

2.

3.A.

B.0

C.

D.

4.

5.

6.曲线y=x+(1/x)的凹区间是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)

7.

8.在下列函数中，在指定区间为有界的是()。

A.f(x)=22z∈(一∞，0)

B.f(x)=lnxz∈(0，1)

C.

D.f(x)=x2x∈(0，+∞)

9.

10.

A.必定存在且值为0B.必定存在且值可能为0C.必定存在且值一定不为0D.可能不存在11.设函数为()．A.A.0B.1C.2D.不存在

12.

13.设y=2x，则dy=A.A.x2x-1dx

B.2xdx

C.(2x/ln2)dx

D.2xln2dx

14.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

15.

16.

17.

18.

19.A.A.2/3B.3/2C.2D.3

20.

二、填空题(20题)21.幂级数的收敛半径为______．

22.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为______．30.设y=sin2x，则y'______．31.设区域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，则x2dxdy化为极坐标系下的二重积分的表达式为________。

32.

33.

34.设f(x，y，z)=xyyz，则

=_________．35.

sint2dt=________。36.设y=1nx，则y'=__________．37.38.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

39.

40.设y=x2+e2，则dy=________三、计算题(20题)41.42.

43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．44.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．45.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

48.49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．51.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．52.证明：53.

54.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

55.

56.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

58.

59.60.求微分方程的通解．四、解答题(10题)61.

62.在第Ⅰ象限内的曲线上求一点M(x，y)，使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度为最小．

63.

64.

65.

66.求微分方程xy'-y=x2的通解．

67.

68.

69.(本题满分8分)设y＝x＋sinx，求y．

70.设y=xsinx，求y．

五、高等数学(0题)71.

是

收敛的()条件。

A.充分B.必要C.充分且必要D.无关六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C

2.A

3.A

4.C

5.B

6.D解析：

7.C

8.A∵0<2x<1x∈(一∞，0)∴f(x)=2x在区间(一∞，0)内为有界函数。

9.A

10.B

11.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

12.D解析：

13.Dy=2x，y'=2xln2，dy=y'dx=2xln2dx，故选D。

14.D解析：

15.B

16.B

17.B

18.D

19.A

20.A

21.

解析：本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

22.

23.

24.

本题考查的知识点为二重积分的计算．25.本题考查的知识点为换元积分法．

26.

27.

28.29.由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为

其中C1，C2为任意常数．30.2sinxcosx本题考查的知识点为复合函数导数运算．

31.因为D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，所以令且0≤r≤a，0≤0≤π，则=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。

32.

解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

33.arctanx+C

34.=xylnx.yz+xy.zyz-1=xyz-1y(ylnx+z)。

35.

36.37.1

38.

39.π/840.(2x+e2)dx

41.

42.

则

43.

列表：

说明

44.45.由等价无穷小量的定义可知

46.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

47.

48.

49.

50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.由二重积分物理意义知

52.

53.由一阶线性微分方程通解公式有

54.

55.

56.函数的定义域为

注意

57.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

58.

59.

60.

61.

62.本题考查的知识点为函数的最大值、最小值应用题．

这类问题的关键是先依条件和题中要求，建立数学模型．

依题目要求需求的最小值．由于L为根式