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文档简介

§5.3正定二次型

二次型的标准形不是唯一的标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)

在变换为实变换时标准形中正负系数的个数是不变的

定理1(惯性定理)

设有二次型fxTAx

它的秩为r

有两个可逆变换xCy及xPz使fk1y12k2y22

kryr2(ki0)

及f1z122z22

rzr2(i0)则k1

k2

kr中正数的个数与1

2

r中正数的个数相等

正惯性指数与负惯性指数二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数负系数的个数称为负惯性指数正惯性指数与负惯性指数的差称为符号差

若二次型f的正惯性指数为p

秩为r

则f有如下标准形

fy12

yp2yp12

yr2

称为f的规范形.

定义1

设实二次型fxTAx

如果对任何x0

都有f(x)0

则称f为正定二次型对称阵A是正定的

如果对任何x0

都有f(x)0

则称f为负定二次型对称阵A是负定的

为正定二次型为负定二次型例如

定理2

二次型fxTAx为正定的充分必要条件是它的标准形的n个系数全为正即它的正惯性指数等于n

设可逆变换xCy使f(x)f(Cy)k1y12k2y22

knyn2

充分性设ki0(i12

n)

任给x0

则yC1x0

故f(x)k1y12k2y22

knyn20

必要性用反证法假设有ks0

则当yes(单位坐标向量)时

f(Ces)ks0

显然Ces0

这与f为正定矛盾

证明

推论

对称阵A为正定的充分必要条件是

A的特征值全为正

对称阵A为正定的充分必要条件是

A的各阶顺序主子式都为正即

对称阵A为负定的充分必要条件是奇数阶顺序主子式为负而偶数阶顺序主子式为正即

定理3(霍尔维茨定理)

例1

判别二次型fx22y26z22xy2xz6xz的正定性

f的矩阵为

解

因为顺序主子式a1110

根据定理3(霍尔维茨定理)知f为正定

例2

判定二次型f5x26y24z24xy4xz的正定性

f的矩阵为

解

因为顺序主子式a1150

根据定理3(霍尔维茨定理)知f为负定

正定矩阵的一些简单性质

定义2

设实二次型fxTAx

如果对任何x0

都有f(x)≥0

则称f为半正定二次型对称阵A是半正定的

如果对任何x0

都

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