2023年安徽省铜陵市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)

2023年安徽省铜陵市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

2.A.A.1

B.1/m2

C.m

D.m2

3.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

4.A.A.2/3B.3/2C.2D.3

5.

6.曲线y＝1nx在点(e，1)处切线的斜率为（）．A.A.e2

B.eC.1D.1/e

7.

8.=（）。A.

B.

C.

D.

9.

在x=0处()。A.间断B.可导C.可微D.连续但不可导

10.设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

11.设等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

12.

13.

14.方程y＋2y＋y=0的通解为

A.c1＋c2e-x

B.e-x(c1＋C2x)

C.c1e-x

D.c1e-x＋c2ex

15.下列关系正确的是()。A.

B.

C.

D.

16.设y=sin2x，则y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx

17.

18.

19.

20.若收敛，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

21.

A.单调增加且收敛B.单调减少且收敛C.收敛于零D.发散

22.

23.

24.

A.1

B.

C.0

D.

25.

26.函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x0处可导的A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件27.函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π28.设y=sinx，则y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-229.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

30.A.收敛B.发散C.收敛且和为零D.可能收敛也可能发散

31.

32.

33.

34.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.椭球面B.锥面C.柱面D.平面

35.

36.A.0或1B.0或-1C.0或2D.1或-1

37.

38.设f(x)为连续函数，则()'等于()．A.A.f(t)B.f(t)-f(a)C.f(x)D.f(x)-f(a)

39.

40.

有()个间断点。

A.1B.2C.3D.4

41.单位长度扭转角θ与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质42.A.A.4πB.3πC.2πD.π

43.设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)（）。

A.有极小值B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值

44.平衡物体发生自锁现象的条件为()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

45.

46.过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x，则切点M0的坐标是()．A.A.(1，0)B.(e，0)C.(e，1)D.(e，e)47.极限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.148.设y＝sin2x，则y等于（）．A.A.－cos2xB.cos2xC.－2cos2xD.2cos2x

49.下列等式成立的是（）。

A.

B.

C.

D.

50.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在二、填空题(20题)51.

52.过点M1(1，2，-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为_________．

53.设z=sin(x2+y2)，则dz=________。

54.ylnxdx+xlnydy=0的通解是______.

55.设f(x)=e5x，则f(x)的n阶导数f(n)(x)=__________．

56.

57.y''-2y'-3y=0的通解是______.58.设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为．59.

60.

61.

62.方程cosxsinydx+sinxcosydy=O的通解为______.

63.

64.

65.

66.67.

68.

69.

70.

三、计算题(20题)71.

72.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．73.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．74.75.证明：76.求微分方程的通解．77.

78.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

79.80.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．81.

82.

83.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

84.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

85.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

86.求曲线在点(1，3)处的切线方程．87.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则88.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

89.

90.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．四、解答题(10题)91.

92.

93.

94.

95.96.97.计算

98.

99.

100.

五、高等数学(0题)101.若f(x一1)=x2+3x+5，则f(x+1)=________。

六、解答题(0题)102.

参考答案

1.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

2.D本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小代换．

解法1由可知

解法2当x→0时，sinx～x，sinmx～mx，因此

3.B

4.A

5.C解析：

6.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y＝f(x)在点x0处可导，则曲线)，y＝f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f(x0)．

由于y＝lnx，可知可知应选D．

7.D

8.D

9.D①∵f(0)=0，f-(0)=0，f+(0)=0；∴f(x)在x=0处连续；∵f-"(0)≠f"(0)∴f(x)在x=0处不可导。

10.A

11.B本题考查的知识点为可变上限的积分．

由于，从而知

可知应选B．

12.D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D。

13.D

14.B

15.B由不定积分的性质可知，故选B．

16.C由链式法则可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x，故选C。

17.A

18.D

19.B

20.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

由级数收敛的必要条件：若收敛，则必有，可知D正确．而A，B，C都不正确．

本题常有考生选取C，这是由于考生将级数收敛的定义存在，其中误认作是un，这属于概念不清楚而导致的错误．

21.C解析：

22.C

23.C

24.B

25.B解析：

26.B由可导与连续的关系：“可导必定连续，连续不一定可导”可知，应选B。

27.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论．

由于y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，从而应有．

故知应选C．

28.A由于

可知应选A．

29.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

30.D

31.C

32.B

33.A

34.B对照二次曲面的标准方程可知，所给曲面为锥面，因此选B．

35.B

36.A

37.A

38.C本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质．

这是一个基本性质：若f(x)为连续函数，则必定可导，且

本题常见的错误是选D，这是由于考生将积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式混在了一起而引起的错误．

39.B

40.C

∵x=0，1，2，是f(x)的三个孤立间断∴有3个间断点。

41.A

42.A

43.A因f(x)=(1+x)ex且处处可导，于是，f'(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex，令f'(x)=0得驻点x=-2；又x＜-2时，f'(x)＜0；x＞-2时，f'(x)＞0；从而f(x)在i=-2处取得极小值，且f(x)只有一个极值.

44.A

45.A

46.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y=f(x)在点x0处可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f'(x0)．

由于y=xlnx，可知

y'=1+lnx，

切线与已知直线y=2x平行，直线的斜率k1=2，可知切线的斜率k=k1=2，从而有

1+lnx0=2，

可解得x0=e，从而知

y0=x0lnx0=elne=e．

故切点M0的坐标为(e，e)，可知应选D．

47.C本题考查的知识点为重要极限公式．

由于，可知应选C．

48.D本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则．

49.C

50.C被积函数sin5x为奇函数，积分区间[-1，1]为对称区间。由定积分的对称性质知选C。

51.

52.

53.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)

54.(lnx)2+(lny)2=C

55.

56.11解析：57.y=C1e-x+C2e3x由y''-2y'-3y=0的特征方程为r2-2r-3=0，得特征根为r1=3，r2=-1，所以方程的通解为y=C1e-x+C2e3x.58.y＝f(1)．

本题考查的知识点有两个：－是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y＝f(x)过该点的切线方程为

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由题意可知x0＝1，且在(1，f(1))处曲线y＝f(x)的切线平行于x轴，因此应有f(x0)＝0，故所求切线方程为

y—f(1)＝0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，－些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y－1＝0．59.1/2

本题考查的知识点为计算二重积分．

其积分区域如图1—1阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知

60.连续但不可导连续但不可导

61.2/52/5解析：

62.sinx·siny=C由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(sinx·siny)=0，两边积分得sinx·siny=C，这就是方程的通解.63.

本题考查的知识点为定积分计算．

可以利用变量替换，令u＝2x，则du＝2dx，当x＝0时，u＝0；当x＝1时，u＝2．因此

64.

65.(-∞2)

66.2本题考查了定积分的知识点。67.3x2

68.

69.

70.

71.

72.由二重积分物理意义知

73.

74.

75.

76.

77.

78.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

79.

80.

列表：

说明

81.

则

82.由一阶线性微分方程通解公式有

83.

84.

85.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

86.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处