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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列的前n项和为,且,则()A.4 B.8 C.16 D.22.若实数、满足,则的最小值是()A. B. C. D.3.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成的角的正弦值为().A. B. C. D.4.在中,“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.6.已知函数的图象如图所示,则下列说法错误的是()A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数的对称中心是D.函数的对称轴是7.若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为()A. B. C. D.8.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()A. B. C. D.9.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()A. B. C. D.10.已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则下列结论正确的是()A. B.复数的共轭复数是C. D.11.若集合,则()A. B.C. D.12.已知,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.14.关于函数有下列四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于中心对称;③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线;④函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.(写出所有正确命题的序号)15.设函数,若在上的最大值为,则________.16.某校初三年级共有名女生,为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况,统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点是直线的一点,过点作曲线的切线,切点为,求的最小值.18.(12分)设,函数.(1)当时,求在内的极值;(2)设函数,当有两个极值点时,总有,求实数的值.19.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求的取值范围.20.(12分)平面直角坐标系中,曲线:.直线经过点,且倾斜角为,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程;(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求实数的值.21.(12分)如图,在正四棱柱中,已知,.(1)求异面直线与直线所成的角的大小;(2)求点到平面的距离.22.(10分)已知函数()的图象在处的切线为(为自然对数的底数)(1)求的值;(2)若,且对任意恒成立,求的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.2、D【解析】

根据约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,得,可得点,由得,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故选:D.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.3、C【解析】

设M,N,P分别为和的中点,得出的夹角为MN和NP夹角或其补角,根据中位线定理,结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为和的中点,则的夹角为MN和NP夹角或其补角可知,.作BC中点Q,则为直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故选:C【点睛】此题考查异面直线夹角,关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角,属于较易题目.4、D【解析】

通过列举法可求解,如两角分别为时【详解】当时,,但,故充分条件推不出;当时,,但,故必要条件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题5、B【解析】

根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.6、B【解析】

根据图象求得函数的解析式,结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】由图象可得,函数的周期,所以.将点代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函数在上单调递减,当时,函数在上单调递减,故A正确;令,得,故函数在上单调递增.当时,函数在上单调递增,故B错误;令,得,故函数的对称中心是,故C正确;令,得,故函数的对称轴是,故D正确.故选:B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式,同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.7、D【解析】

求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.8、B【解析】

利用等差数列的性质求出的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用,同时也考查了等差数列求和,考查计算能力,属于基础题.9、C【解析】令圆的半径为1,则,故选C.10、D【解析】

首先求得,然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】由题意知复数,则,所以A选项不正确;复数的共轭复数是,所以B选项不正确;,所以C选项不正确;,所以D选项正确.故选:D【点睛】本小题考查复数的几何意义,共轭复数,复数的模,复数的乘法和除法运算等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想.11、A【解析】

先确定集合中的元素,然后由交集定义求解.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键.12、D【解析】

根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于零小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为,所以,所以是减函数,又因为,所以,,所以,,所以A,B两项均错;又,所以,所以C错;对于D,,所以,故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小,两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:【点睛】此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.14、①②③【解析】

由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断.【详解】函数的定义域是,由于,在上递增,∴函数在上是递增,①正确;,∴函数的图象关于中心对称,②正确;,时取等号,∴③正确;,设,则,显然是即的极小值点,④错误.故答案为:①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性,考查导数的几何意义、导数与极值,解题时按照相关概念判断即可,属于中档题.15、【解析】

求出函数的导数,由在上,可得在上单调递增,则函数最大值为,即可求出参数的值.【详解】解:定义域为,在上单调递增,故在上的最大值为故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,属于基础题.16、【解析】

根据数据先求出,再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【详解】解:,.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为:.【点睛】本题主要考查频率分布直方图,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2)见解析【解析】

(1)消去t,得直线的普通方程,利用极坐标与普通方程互化公式得曲线的直角坐标方程;(2)判断与圆相离,连接,在中,,即可求解【详解】(1)将的参数方程(为参数)消去参数,得.因为,,所以曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)知曲线是以为圆心,3为半径的圆,设圆心为,则圆心到直线的距离,所以与圆相离,且.连接,在中,,所以,,即的最小值为.【点睛】本题考查参数方程化普通方程,极坐标与普通方程互化,直线与圆的位置关系,是中档题18、(1)极大值是,无极小值;(2)【解析】

(1)当时,可求得,令,利用导数可判断的单调性并得其零点,从而可得原函数的极值点及极大值;(2)表示出,并求得,由题意,得方程有两个不同的实根,,从而可得△及,由,得.则可化为对任意的恒成立,按照、、三种情况分类讨论,分离参数后转化为求函数的最值可解决;【详解】(1)当时,.令,则,显然在上单调递减,又因为,故时,总有,所以在上单调递减.由于,所以当时,;当时,.当变化时,的变化情况如下表:+-增极大减所以在上的极大值是,无极小值.(2)由于,则.由题意,方程有两个不等实根,则,解得,且,又,所以.由,,可得又.将其代入上式得:.整理得,即当时,不等式恒成立,即.当时,恒成立,即,令,易证是上的减函数.因此,当时,,故.当时,恒成立,即,因此,当时,所以.综上所述,.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识,考查分类讨论思想、转化思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,该题综合性强,难度大,对能力要求较高.19、(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)化简得到直线的普通方程化为,,是以点为圆心,为半径的圆,利用垂径定理计算得到答案.(Ⅱ)设,则,得到范围.【详解】(Ⅰ)由题意可知,直线的普通方程化为,曲线的极坐标方程变形为,所以的普通方程分别为,是以点为圆心,为半径的圆,设点到直线的距离为,则,所以.(Ⅱ)的标准方程为,所以参数方程为(为参数),设,,因为,所以,所以.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.20、(Ⅰ)(t为参数);(Ⅱ)或或.【解析】

试题分析:本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,用,化简表达式,得到曲线的极坐标方程,由已知点和倾斜角得到直线的参数方程;第二问,直线方程与曲线方程联立,消参,解出的值.试题解析:(1)即,.(2),符合题意考点:本题主要考查:1.极坐标方程,参数方程与直角方程的相互转化;2.直线与抛物线的位置关系.21、(1);(2).【解析】

(1)建立空间坐标系,通过求向量与向量的夹角,转化为异面直线与直线所成的角的大小;(2)先求出面的一个法向量,再用点到面的距离公式算出即可.【详解】以为原点,所在直线分别为轴建系,设所以,,所以异面直线与直线所成的角的余弦值为,异面直线与直线所成的角的大小为.(2)因为,,设是面的一个法向量,所以有即,令,,故,又,所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离,意在考查学生的数学建模以及数学运算能力.22、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】(1)对求导得,根据函数的图象在处的切线为,列出方程组,即可求出的值;(2)由(1)可得,根据对任意恒成立,等价于对任意恒成立,构造,求出的单调

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