中药统计学第5章题解

5相关与回归题解习题5.1解答查《伤寒论》中黄连汤、人参汤、生姜泻心汤等14个使用甘草与干姜的处方，其配伍使用量如表5-3所示。求《伤寒论》使用甘草与干姜的处方中，甘草用量与干姜用量相关系数的，，并进行检验。表5-3《伤寒论》中甘草与干姜用量（g）处方用药］234567891011121314甘草X1269669912960.75699干姜Y64.594.56939990.754.599解这是计量资料，以横轴表示甘草用量使），纵轴表示干姜用量（g），画出如图5-11所示的散点图。可以看出，散点图有直线趋势，故进行直线相关分析。H0：总体相关系数p=0，H『p丰0。计算得到图5-11M甘草与干姜散点图n=14，X=7.7679，5^=2.9063图5-11M甘草与干姜散点图Y=6.5893，SY=2.7935，&Y=783.5625_783.5625-14x7.7679x6.5893r=（14-1）x2.9063x2.7935=0.6346查统计用表19（相关系数界值表），r0.05/2（12）=0.5324，双侧PV0.05，按a=0.05水准双侧检验拒绝H0。可以认为甘草用量X（g）与干姜用量Y（g）有正向直线相关关系。某医师用免疫方法治疗肢体硬化，治疗6个月后，结果如表5-4所示，试分析残废指数Y与病程X间的关系。表5-4残废指数Y与病程X间的关系病人编号研究变量1234567891011病程X11111224669残废指数Y32565766777解这是计量资料，以横轴表示病程X（年），纵轴表示残废指数y，画出如图5-12所示的散点图。可以看出，散点图有直线趋势，故进行直线相关分析。H0：总体相关系数p=0，H1：p+0。计算得到

M图5-12病程与残废指数散点图n=11,X=3.0909,SX=2.7732M图5-12病程与残废指数散点图Y=5.5455,SY=1.6949,YXY=218_218-11x3.0909x5.5455r= （11-1）x2.7732x1.6949=0.6266查统计用表19（相关系数界值表），r0.05/2⑼=0.6021,双侧PV0.05，按a=0.05水准双侧检验拒绝H0。可以认为残废指数J与病程x间有正向直线相关关系。不同地区水中平均碘含量与地方性甲状腺肿患病率的资料如表5-5所示，试分析地方性甲状腺肿患病率与水中平均碘含量的关系。表5-5地方性甲状腺肿患病率与水中碘含量的关系研究变量地区编号12345碘含量X10.02.02.53.524.5患病率Y40.537.739.020.00.0解以横轴表示水中平均碘含量X（单位），纵轴表示甲状腺肿患病率Y（%）,绘出如图5-13碘含量与患病率散点图图5-13所示的散点图。散点图有直线趋势，但患病率（%图5-13碘含量与患病率散点图是百分数，不服从正态分布，故选用Spearman检验。H0：总体相关系数p=0,H1：p手0。分别将两个变量从小到大编秩，计算出每对观察值的2^=2x12+2x22^=2x12+2x22+42=26=—0.316x26=—0.31 53-5表5-26 碘含量与患病率资料编秩X的秩次41235孔=15Y的秩次53421乙=15秩次之差d-1-2-2142查统计用表20（rs界值表），r005/2（5）=1.000,双侧P>0.05，不能按a=0.05水准双侧检验拒绝H0。不能认为地方性甲状腺肿患病率与水中平均碘含量有负向直线相关关系。根据如表5-6所示资料，分析出血症状Y与血小板数X（109/L）的关系。表5-6出血症状Y与血小板数X（109/L）的关系研究变量病例编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12血小板数X 160 310 420 540 740 1060 1260 1230 1440 2000 160 310出血症状Y+++++ + - + + -- -- + -

1000 2000100 m〈(° 2050图5-14出血症状散点图解这是等级资料，为绘制散点图，先量化出血症状，等级一、+、++、+++，分别量化为0、1、2、3。由如图1000 2000100 m〈(° 2050图5-14出血症状散点图H0：p=0，即j与x之间无联系；H1：p手0。分别将两个变量从小到大编秩，计算出每对观察值的秩次之差也如表5-27所示。表5-27血小板和出血症状资料X的秩次1.53.5567891011121.53.5Y的秩次11128.53.58.58.53.53.53.53.58.53.5秩次之差d一9.5一8.5一3.52.5一1.5一0.55.56.57.58.5—70本例血小板数有2个160、2个310，出血症状有6个一、4个+，由n=12，计算得到£^2=433.5，4=2(23—2)/12=1，Tj=[(63—6)+(43—4)]/12=22.5sc=—0.6536(123—12)/6—(1+22.5)—433.5sc=—0.6536"(123—12)/6—2x1][(123—12)/6—2x22.5]查统计用表20（%界值表），r005/2（10）=0.648，双侧PV0.05，以a=0.05水准双侧检验拒绝H。，可以认为2〜7岁急性白血病患儿的血小板数与出血症状之间有负向直线相关关系。习题5.2解答一— 处方用药四君子汤参苓白术散补中益气汤生脉散八珍汤炙甘草汤人参x1121000101066白术X，91000一— 处方用药四君子汤参苓白术散补中益气汤生脉散八珍汤炙甘草汤人参x1121000101066白术X，9100010090表5-9治疗气虚证6个处方的人参与白术二味中药用量2解这是计量资料，治疗气虚证的6个处方中人参与白术的散点图如图5-15所示，有直线趋势，适于作回归直线分析。1110M〈D5由n=6、X=174.0000、SX=404.6628、1110M〈D5—0Q 0 5 10图5-1；人参与白术散点图3Y=171.3333、Sy=405.9880、£XY=1000262，得到lxY=1000262—6X174X171.3333=821390.0000—0Q 0 5 10图5-1；人参与白术散点图3/=（6—1）1742=818760.0000XX

5=821390/818760=1.0032_1000262-6x174x171.3333r=(6-_1000262-6x174x171.3333r=(6-1)x404.6628x405.9880=0.9999查统计用表19(r界值表)，r0001/2(4)=0.9741,双侧PV0.01,线性回归方程V=-3.2256+1.0032X有统计学意义。R2=0.99992=0.9999由冷＞0.7，可以认为两变量的相关强度较大，线性回归方程拟合效果较好。可以认为在治疗气虚证时，人参与白术配伍用量有协同作用(有联合相加作用)。从该方程的回归系数5=1.0032可知，治疗气虚证时，人参用量每增加或改变1克，白术配伍用量平均改变约1克，若人参用量为9克，则白术用量为-3.2256+1.0032x9=5.8033克，即宜配白术用量5.8克，有利于节省药量，发挥最佳药效。对习题5.1的1题数据，建立干姜用量V(g)关于甘草用量X(g)的回归方程。解这是计量资料，散点图有直线趋势。n=14，X=7.7679，SX=2.9063，V=6.5893，Sy=2.7935，£XV=783.5625r=0.6346，双侧PV0.05，线性回归方程有统计学意义。lXV=783.5625-14X7.7679X6.5893=66.9777农=(14-1)2.90632=109.80805=821390/818760=0.6100a=6.5893—0.6100X7.7679=1.8513R2=0.63462=0.4029由冷＜0.7,两变量的相关强度一般，干姜用量7(g)关于甘草用量X(g)的线性回归方程拟合效果不太好，即V=1.8513+0.6100X可以使用。对习题5.1的2题数据，建立残废指数V与病程X(年)的回归方程。解这是计量资料，散点图有直线趋势。n=11，X=3.0909，SX=2.7732，V=5.5455，Sy=1.6949，£XV=218r=0.6266，双侧PV0.05，线性回归方程有统计学意义。/=218—11X3.0909X5.5455=29.4545XVI=(11—1)2.77322=76.9091XX5=29.4545/76.9091=0.3830a=6.5893—0.6100X7.7679=4.3617R2=0.63462=0.3927由冷＜0.7,两变量的相关强度一般，残废指数V与病程X(年)的线性回归方程拟合效果不太好，即

Y=4.3617+0.3830X可以使用4.用双波长薄层扫描仪测定紫草含量，浓度C(mg/100ml)与测得积分值H数据如表5-10所示，建立积分值H关于浓度C的回归方程。在C0=12时，求H0的95%预测区间。表5-10 紫草含量浓度C与测得积分值H数据浓度C51015202530积分值H15.231.746.758.976.982.8解这是计量资料，散点图如图5-16所示，有直线趋势，适于作回归直线分析。n=6,X=17.5，SX=9.3541，Y=52.0333，Sy=26.1177，£XY=6678M图5-16紫草浓度与积分值散点图/=6678-6X17.5X52.0333=1214.5M图5-16紫草浓度与积分值散点图XY农=(6-1)9.35412=437.55=1214.5/437.5=2.7760a=52.0333-2.7760X17.5=3.45336678—6x17.5x52.0333r= =0.9942(6-1)x9.3541x26.1177查统计用表19,r0.001/2(4)=0.9741，双侧PV0.01线性回归方程Y=3.4533+2.7760X有统计学意义。R2=0.99422=0.9885由史＞0.9，认为两变量的相关强度较大，线性回归方程拟合效果较好，即H=3.4533+2.7760C可以使用查统计用表5得,05/2(4)=2.7765，计算得H=3.4533+2.7760X12=36.7653"亘亟EMH=3.1313*X \ 6-236.76532.7765x3.1313x,,'1+-+(12-17.5)2=(27.1005,46.4302)6(6-1)9.35412紫草含量浓度C0=12(mg/100ml)时，可预测积分值数据H0约有95%在(27.1005,46.4302)范围内。用显微定量法测定二陈丸的甘草浓度x(mg/mL)与镜检晶纤维的数目必得到如表5-11所示资料，作回归分析。甘草浓度4mg/mL时，预测晶纤维数目总体均数95%可信区间。表5-11 二陈丸的甘草浓度与镜检晶纤维的数目甘草浓度X2.073.104.145.176.20晶纤维数Y128194273372454解这是计量资料，散点图如图5-16所示，有直线趋势，适于作回归直线分析。n=5,X=4.136，SX=1.6333，Y=284.2，SY=131.5302，£XY=6734.62/=6734.62-5X4.1360X284.2000XY=857.3640I=(5-1)1.63332=10.6709I=(5-1)1.63332=10.6709XXb=857.364/10.6709=80.3458a=284.2—80.3458X4.1360=—48.1104_6734.62-5x4.136x284.2r=(5-1)x1.6333x131.5302=0.9977查统计用表1（r界值表），r0001/2（3）=0.9911,双侧P<0.01,线性回归方程V=—48.1104+80.3458x有统计学意义。500400危° *200100t 1 」:10 66.5图5-16浓度与晶纤维散点图0° 妒］800V）0° 妒］800V）、（lnX，V）、（lnX，lnV）数据图5-17压力X与二酰肼生成值V的（X，V）、（lnX，V）、（lnX，lnV）散点图R2=0.99772=0.9954由R2>0.7，可以认为两变量的相关强度较大，线性回归方程拟合效果较好，即V=—48.1104+80.3458X可以使用。查统计用表5得％05/2（3）=3.1825，计算得%=—48.1104+3.1825X4=273.2730Sy-X=■'(5-1)(1-0.9977Sy-X=I =10.2497: 5-2273.27303.1825x10.2497x■-+(4-4.136)2=(258.6221,287.9238)\'5(5-1)1.63332甘草浓度4mg/mL时，预测晶纤维数目总体均数95%的可信区间为(258.6221,287.9238)。习题5.3解答二酰肼生成值（g/L）受压力（mmHg）的影响，资料如表5-18所示，试建立二酰肼生成值V与压力X的回归方程。压力X(mmHg)153050100300760二酰胼值V（g/L）55.038.025.014.56.62.6表5-18不同压力的二酰肼生成值资料解比较如图5-17所示压力X与二酰肼生成值V的（X，散点图，选择幂函数回归lnV=a+blnX。

计算数据的对数值，如表5-28所示，即表5-28不同压力的二酰肼生成值数据的对数值lnX2.70813.40123.91204.60525.70386.6333lnY4.00733.63763.21892.67411.88710.9555用（lnX,lnY）数据作直线回归计算，得到a=6.2250，b=—0.7777,R2=0.9939,r=0.9970，双侧P<0.01建立二酰肼生成值Y与压力X的回归方程lnY=6.2250—0.7777lnX有统计学意义。X=15、30、50、100、300、760时，lnY=4.1189、3.5799、3.1826、2.6436、1.7892、1.0663，拟合较好。薄层扫描测定心康胶囊中人参皂苷R&含量，辽宁中医2002年第29卷第2期。测得数据如表5-19所示，建立Y与X的回归方程。表5-19薄层扫描测定心康胶囊中人参皂苷R&含量Rgl净含量 1.992 3.984 5.976 7.968 9.960色谱峰面积 16720 32949 47356 69084 86910解比较如图5-18所示人参皂苷Rgl含量X与色谱峰面积Y的（X，Y）、（lnX，Y）、（lnX，lnY）数据散点图，可以选择线性回归Y=a+bX或幂函数回归lnY=a+blnX。11.5〈0>2.5Y）11.5〈0>2.5Y）、（lnX，lnY）散点图图5-18人参皂苷Rgl含量X与色谱峰面积Y的（X，Y）、（lnX，若选择线性回归，则用（乂，Y）数据作直线回归计算，得到a=—2350.7000,b=8861.1948，R2=0.9955，r=0.9977，双侧PV0.01色谱峰面积Y与人参皂苷Rgl含量X的直线回归方程有统计学意义。由R2>0.9，认为两变量的相关强度较大，线性回归方程拟合效果较好，即Y=—2350.7000+8861.1948X可以使用若选择幂函数回归，则计算数据的对数值如表5-29所示，即表5-29 Rgl含量X与色谱峰面积Y数据的对数值lnX 0.6891 1.3823 1.7878 2.0754 2.2986lnY 9.7244 10.4027 10.7654 11.1431 11.3726用（lnX,lnY）数据作直线回归计算，得到a=8.9993，b=1.0217，R2=0.9969，r=0.9984，双侧P<0.01色谱峰面积Y与人参皂苷Rgl含量X的回归方程lnY=8.9993+1.0217lnX有统计学意义。X=1.992、3.984、5.976、7.968、9.960时，lnY=9.7034、10.4116、10.8258、11.1197、11.3477，拟合较理想。3.根据例3数据，求LD50及其95%预测区间。解删除P=0或100的数据，查统计用表22概率单位X、计算对数剂量lgD,如表5-30所示，即表5-30 小白鼠的死亡数据的概率单位死亡率P7.69233063.636484.615494.1176概率单位X3.57394.47565.34886.02016.5647对数剂量lgD0.30100.39790.47710.54410.6021用整理后的(X，lgD)数据作直线回归计算，得到X=5.1966、SX=1.1964、Y=0.4644、SY=0.1189、£XY=12.6366lXY=12.6366—5x5.1966x0.4644=0.5689I=4x1.19642=5.7260，I=4x0.11892=0.0566XX YYb=0.5689/5.7260=0.0994，a=0.4644-0.0994x5.1966=—0.0519r=0.5689/t5.7260x0.0566=0.9996，双侧P<0.01R2=0.99962=0.9992>0.7概率单位X与对数剂量lgD间的曲线拟合方程lnD=—0.0519+0.0994X有统计意义。X=5时，lnD=0.4449，LD50的点估计值=100.4449=2.7855。&二。.1189「(5一1)(1一0.9992)=0.0039Y'x 5-2查统计用表5,t0.05/2(3)=3.1825，得到lgLD50的95%预测D区间0.44493.1825x0.1373.-+(5-5.1966)2=(0.4393,0.4505)5(5-1)1.19642LD50的95%预测区间为(100.4393,100.4505)=(2.7499,2.8216)mg/g。习题5.4解答1.测定15名糖尿病人的血糖Y(mmol/L)、胰岛素X1(Mu/L)及生长素X2(gg/L)的数值如表5-23所示，试建立血糖对于胰岛素及生长素的二元线性回归方程。表5-23糖尿病人的血糖、胰岛素及生长素的含量研究变量病例号123456789101112131415血糖Y12.2114.5412.2712.047.8811.1010.4313.3219.599.056.449.4910.168.388.49胰岛素X115.2016.7011.9014.0019.8016.2017.0010.302.9018.7025.1016.4022.0023.1023.20生长素X29.5111.437.5312.172.3313.5210.0718.8913.149.635.104.532.164.263.42解由数据计算得到L=459.6133、Z=—277.3543、Z=—233.3400、l”=331.8057、l”=145.4746、>=11 _ 12 _ 13_ 22 23 33146.6662、京=16.8333、X=8.5127、Y=11.0260构成正规方程组，即2J459.6133«-277.3543«=-233.3400I-277.3543b+331.8057^=145.47461 2解得 b］=—0.4906、b2=0.0284计算得到 b0=11.0260+0.4906X16.8333—0.0284X8.5127=19.0424SS回=0.4906X277.3543—0.0284X233.3400=118.5962>df