线性代数练习册答案汇总

线性代数练习册答案第五章相像矩阵及二次型1内积52方阵的特点值与特点向量一．填空题：1.A是正交矩阵，则AA1.2.已知n阶方阵A的特点值为1,2,,n，则EA12n.3.已知3阶方阵A的特点值为1,1,2，则B3A22A的特点值为1,5,8；A2；A的对角元之和为2.4.若0是A的特点值，则A不能够逆（可逆，不能够逆）.5.A是n阶方阵，Ad，则AA的特点值是d,d,,d（共n个）.二．用施密特法把以下向量组规范正交化111(1,2,3)124139解：11,1,1T12,11,2,3T6T1,0,1T22211,1,1133,1,32332122121,4,9141,1,181,0,11T,,TTT32333故b111T，b221T，b331T31,1,121,0,11,2,1.1236三．求以下矩阵的特点值和特点向量12100B0201.A2.2101212解：1.A的特点多项式为AE21(3)(1)故A的特点值为13,21.3时，解方程A3Ex0.由A3E22r11当12:002得基础解系P11k0)是对应于3的所有特点向量.，故kP(1111时，解方程AEx0.由AE22r11当222:00得基础解系P21，故kP2(k0)是对应于1的所有特点向量.121002.B的特点多项式为BE020(1)(2)2012故B的特点值为11,232.000r0111时，解方程BEx0.由B当1E010:0100110001得基础解系P10，故kP1(k0)是对应于11的所有特点向量.0当232时，解方程B2Ex0.100r100由B2E000:0000100100得基础解系P20，故kP(k0)是对应于232的所有特点向量.21四．证明以下各题1.x为n维列向量，且xTx1，求证：HE2xxT是对称的正交阵.设A、B为同阶正交阵，证明：AB也是正交阵.证明：1.HE2xxTHTE2xxTTET2xTTHxT故H为对称阵.又HTHE2xxTE2xxTE4xxT4xxTxxTE4xxT4xxTE故H为正交阵.2.因A,B为同阶正交阵，故ATAE,BTBE.TABBTATABBTEBBTBE，故AB为正交阵.又AB五．A是n阶方阵，命题P为：A的特点值均不为0.请尽量多的列举与P等价的命题.（如A可逆.最少列举3个）解：等价命题：P1：A的列（行）向量组线性没关P2：A0P3：齐次线性方程组Ax0只有0解P4：A的秩为n53相像矩阵54实对称矩阵的相像矩阵一．填空题：1.若是A的特点向量，则P1是P1AP的特点向量.2.若A与B相像，则AB.2002003.A001与B0y0相像，则x0，y1.01x0014.若是A的k重特点根，则必有k个相应于的线性没关的特点向量，不对（对，不对），若A是实对称的呢？对（对，不对）.二．多项选择题（选出所有正确的选项，可能不但调个）1.n阶方阵A相像于对角矩阵的充分必需条件是A有n个（C）（A）互不同样的特点值；（B）互不同样的特点向量；（C）线性没关的特点向量；（D）两两正交的特点向量；2.方阵A与B相像，则必有（BD）（A）EAEB；（B）A与B有同样的特点值；（C）A与B有同样的特点向量；（D）A与B有同样的秩；3.A为n阶实对称矩阵，则（ACD）（A）属于不同样特点值的特点向量必然正交；（B）A0；（C）A必然有n个两两正交的特点向量；（D）A的特点值均为实数；100三．A021，试求一个可逆矩阵P使得P1AP为对角阵，并求Am.012解：先求A的特点值和特点向量.100EA021(1)2(3)012故A的所有特点值为13,231.当13时，解方程A3Ex0.200r100A3E011:0110110000令P1，则P1即为对应于13的特点向量.11当231时，解方程AEx0.000r000AE011:01101100010令P20,P31，则P,P即为对应于231的特点向量.2301010明显，P1,P2,P3线性没关.令PP1,P2,P3101，则101310013m13mP1AP1APP1AmPmP10122013m13m221四．三阶实对称矩阵A的特点值为0,2,2，又相应于特点值0的特点向量为P11，求1出相应于2的所有特点向量.解：由于A为三阶实对称矩阵，故A有三个线性没关的特点向量，且对应于不同样特点值的特点向量两两正交.已知对应于10的特点向量为P1，设对应于232的特点向量为P2,P3，则PTP0,PTP30.即P,P为齐次线性方程组PTx0的两个线性没关的解.由PTx0得1212311x1x2x3x2101,1.0.令,，则x1x30111取P21,P30，则P2,P3即为对应于232的特点向量.01令k2P2k3P3（k2,k3不全为零），则为对应于232的所有特点向量.五．设3阶方阵A的特点值为11,20,31，对应的特点向量分别挨次为122P12,P22,P31，求A.212解：由于123，故A可对角化，且1,2,3所对应的特点向量P1,P2,P3线性没关.1明显AP1,P2,P3P1,P2,P32，令PP,P,P，123311P11102故AP2P1P0012.13220355二次型及其标准形56用配方法化二次型为标准形57正定二次型一．填空题：1.f(x,y)x22xyy22x是否是二次型？答：不是.2.f(x1,x2,x3)4x1x22x1x32x2x3的秩是3；秩表示标准形中平方项的个数．110．A1k0,A为正定矩阵,则k知足大于1.300k2二．A为实对称矩阵，选出所有的A为正定矩阵的充分必需条件（12346）1.对随意的列向量x0，xAx02.存在可逆方阵C，使得ACC3.A的次序主子式所有大于零4.A的主子式所有大于零5.A的队列式大于零6.A的特点值所有大于零001x2三．f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)300x3430x1求二次型f(x1,x2,x3)所对应的矩阵A；求正交变换xPy，将二次型化为标准形.001x2x1解：1.f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)300x3(x1,x2,x3)3x2430x14x23x3x123x224x2x33x32100故二次型f(x1,x2,x3)所对应的矩阵A032.023问题可转变为求正交矩阵P，将A化为对角形.100AE032(1)2(5)023故A的特点值为121,35.当121时，解方程AEx0.000011x110rAE022:000.令0,，得x20,1.022000x3110取10,21，则1,2即为对应于121的特点向量.01明显，1,2正交.将1,2单位化得101P110,P22210212当35时，解方程A5Ex0.400100x10r1.令x3A5E022:011，得.022000x210取31，则3即为对应于35的特点向量.10将3单位化得P333

1.2121令PP1P2P3，则P1AP1.5故f(x1,x2,x3)的标准形为y12y225y32.四．已知A和B都为n阶正定矩阵，求证AB的特点值所有大于零.证明：由于A,B都为n阶正定矩阵，则对随意n维列向量x0，有xTAx0,xTBx0xTABx0.即AB是正定矩阵.故AB的特点值所有大于零.五．已知A为n阶正定矩阵，求证AE1.证明：由于A为n阶正定矩阵，则A的n个特点值1,2,,n全大于零且存在正交矩阵P，使得11P1AP2AP2P1.nn11由AEP21PP1P2EP1Pnn1P211，得P112111121n11AEPPn1六.求L:x2xyy21围成的面积.解：设二次型令A

f(x,y)112112

11xx2xyy2x,y2.y12，则A是对称矩阵且正定.设1,2为A的特点值，可知存在正交矩阵P，使得P1APPTAP10A0，得11,23..由E0222由于正交变换不改变向量的长度，故可用正交变换xPz1，使得yz2XTAXZTPTAPZZTP1APZ1z122z22，此中Xx,Zz1.yz2综上可知，经过正交变换后，f(x,y)1z123z22.故L的面积即为椭圆：22123222z12z21的面积.面积S3.第五章复习题三、计算题1、设3阶对称阵A的特点值为6，3，3，与特点值6对应的特点向量为p1T1,1,1，求A解：由于对称矩阵对应于不同样特点值的特点向量是两两正交的，因此求对应于3的特征向量即为求与1,1,1T正交的特点向量。px0,即xx2x0113解得p2T,p31,0,1T1,1,0即为对应的特点向量111令Pp1p2p31101016P1AP336411AP3P114131142、设3阶对称阵A的特点值为1，2，3，对应的特点向量挨次为：TT,1,3,9TT11,1,1,21,2,43，给定向量1）将T2,3；2）求出Am用1,解：1）解方程1,2,3x，111x11x12即解123x21得x2－2149x33x31122312）P1,2,3,P1AP231P1AmPP1APP1APP1APm2m3m1AmP2mP13m1111113m22m1Am1232m12322m23m11493m14922m313m24、fx1,x2,x32x123x223x322ax2x3a0，已知f经过正交变换可化为标准型fy122y225y32，求参数a及所有的正交变换矩阵。200x1解：fx1,x2,x3x1,x2,x303ax2xTAx0a3x3A29a212510a2,又a0a2200032023先求A的三个特点值对应的特点向量，再将其单位化获得1,2,3，则P1,2,3即为。5、fx1,x2xn2x2222x1a1x2a2x3xn1an1xnxnanx1，问实数a1an知足何条件时，二次型fx1,x2xn为正定二次型。解：fx1,x2xn0，若存在不全为零的x1,x2xn使得x1a1x20x2a2x30（1）xnanx10则fx1,x2xn不是正定的，即（1）有非零解时不知足题意，因此求a使得（1）仅有独一零解。1a100n10001011a1an0Aanan11rn1an1rn,r1a1r2001an10an01an0011n101a1ana1an1n四、证明题1、设A为n阶矩阵，1和2是A的两个不同样的特点值，x1、x2是分别属于1和2的特征向量，试证明x1x2不是A的特点值。证明：12,Ax11x1;Ax22x2，若x1x2是A的特点向量，即有Ax1x2x1x2x1x21x12x21x12x20而且1，2不同样时为零即x1,x2线性有关，矛盾因此，x1x2不是A的特点向量。2、设二阶方阵A的队列式为负数，求证A可相像于对角矩阵。证明：A12012A可相像于对角阵。3、A、B为两个n阶矩阵，且A的n个特点值两两相异，若A的特点值恒为B的特点向量，则

AB＝BA。证明：设

A的特点值为

1,

2

n，对应特点向量为

p1,p2

pn，而且该特点向量对应

B的特点值为

k1,k2

kn，那么有AB

p1,p2

pn

Ak1p1,k2p2

knpn

k1Ap1,k2Ap2

knApnk1

p1,k2

p2

knnpnBA

p1,p2

pn

Bk1p1,k2p2

knpn

k1Bp1,k2Bp2

knBpnk1kp1,k2kp2

knknpnABP

BAP又两两互异，即P可逆ABBA4、若A正定，则A*也正定。证明：设A的特点值为，对应特点向量为x，即AxxAxxA*Ax|A|xA*xA正定，因此0,|A|0A*x|A|x，|A|为A*的特点值，|A|0A*也正定。5、A为n阶实对称矩阵，则当t充分大时，A＋tE必为正定。证明：设A的n个特点值为1,2n＋tE的n个特点值为：，则A1t,2tnt∵A为对称阵∴1,2n为实数∴t0,st..t0i1,2,n∴A＋tE为正定阵。6、A为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵U，使A＝UTU。证明：设正定阵A的n个特点值为1,2n∴存在正交阵P，使得111PTAPnnn11∴APPTPPTUTU，nn1此中UPPTn7、A为m×n实矩阵，A的秩为n，证明ATA正定。证明：ATTATA，因此ATA是对称阵Ax0,xTATAxT2AxAxAxRAnx0,Ax0xTATAxAx20∴ATA是正定的。8、A是

n阶正交矩阵，

A

1，求证－1是

A的一个特点值。证明：

AE

|A

AAT

||A

A

E

T

||A||A

E||A|

1|A

E|

0∴－1是A的一个特点值第五章自测题（

A）四、已知

3阶矩阵

A的特点值为

1，－1，2，设矩阵

B

A3

5A2，试求：（1）B的特点值；（2）

B及

A

5E

。解：1)

设A的特点值为

，对应特点向量为

x，即

Ax

x则35为A35A2的一个特点值∴B的特点值为：－4，－6，－122）|B|46122885E对应的特点值为：－4，－6，－3∴|A5E|46372五、设3阶方阵A的特点值为11,20,31,对应的特点向量挨次为TT2,1,2Tp1=1,2,2,p2=2,2,1,p3=,求A。解：记Pp1,p2,p3,1则P1AP,APP1六、已知二次型fx1,x2,x35x125x22cx322x1x26x1x36x2x3的秩为2.（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特点值；（2）指出方程fx1,x2,x31表示何种曲面。解：1）二次型对应的矩阵为A513A15333cRA2|A|0c3对应的特点值为14,29,302）二次型可化为标准型fy1,y2,y34y129y22，此中xPy4y129y221表示椭圆柱面，而正交变换不改变形状∴fx1,x2,x3也表示椭圆柱面。七、证明题1、设

A为

n阶方阵，且

A2

E，证明：

A的特点值为

1或－1.证明：设

Ax

x∴A2x

2x

x∴1,即A的特点值为

1或－12、设矩阵A与B相像，证明：（1）AT与BT相像；（2）A可逆时，A1与B1相像。证明：1)设BP1AP，则BTP1APTPTATP1TPTATPT1记Q1PT,BTQ1AQ）设BP1AP，若A可逆，则必有B可逆∴B1P1AP11A1PP∴B1与A1相像3、设A是n阶实对称矩阵，证明A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使ABBTA是正定矩阵。证明：充分性：若存在B，使得ABBTA正定即x0,xTABBTAx0∴xTABxxTBTAxAxTTTBx0（1）BxBxAx2Ax若RAn，即x0,st..Ax0，此时（1）式2AxT0，矛盾Bx∴RAn，即A可逆必需性：若A可逆B,ABEABBTAABBTATABABT2E2E是正定的ABBTA是正定的第五章自测题（B）12三、已知向量k是矩阵A的逆矩阵A1的特点向量，求k的1值。解：A1存在AxxA1x1x即1为A1的特点值，x为对应特点向量也为A的特点向量，为对应特点值A1kk1k32k2kk3k2或k1四、设四元二次型f(x1,x2,x3)xTAx，此中01001000A00y10012（1）已知A的一个特点值为3，求y；T（2）求矩阵P，使APAP为对角阵。解：1）|A3E|0,y21810002）BATA0100，下边求P使得P1BP为对角阵。00540045五、已知三阶矩阵A和三维向量x，使得向量x,Ax,A2x线性没关，且知足A3x3Ax2A2x，（1）记PxAxA2x，求三阶矩阵B，使得APBP1；（2）计算队列式AE解：1）000APAxAxA2xAxA2xA3xxAxA2x103PB012又xAxA2x线性没关可逆P000APBP1,此中B1030122）AEPBP1EPBP1PP1PBEP1100AEBE1134011六、某实验性生产线每年一月份进行娴熟工与非娴熟工的人数统计，此后将1/6的娴熟工增援其余生产部门，其缺额有招收信的非娴熟工补齐，新、老非娴熟工经过培训实时