河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题(一)(理数)

河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（一）

数学（理科）本试卷总分150分，考试时间120分钟。注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。、选择题：本题共

合题目要求的。.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共

合题目要求的。12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符2i.设复数z——，则z在复平面内对应的点位于1iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.已知集合A{x|(x2)(x2)0},B{x|0xa}.若AB{1,2},则实数a的D.(1,)6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在则在这些竞拍人员中，报价不低于 5万元的人数为D.(1,)6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在则在这些竞拍人员中，报价不低于 5万元的人数为D.80D.取值范围是A.[2, ) B.(2, ) C.[1,).2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共A.30 B.42 C.54.已知abc,且abc0,则下列不等式一定成立的是A.abbc B.acbc C.|ab||bc|5.y设实数x,y满足约束条件 y2xx2,2x,3y6.A.已知B.ab0,若函数f(x)27.8.9.B.4sinx3216某正方体的三视图中的侧视图如图所示,B.3.2则zx2y的最小值为0,C. 6D. 8cosx在区间［a,b］上单调，则ab的最小值是2D. —16是由两个全等的长方形构成，则该正方体的体积为已知数列｛an｝为等比数列，Sn为其前下列结论正确的是S2SnS4D.2.215.对任意的正整数n,A.an an2C.an an3已知四棱锥P直线的条数是A.210.如图所示的4纵向各取1A.一102aniB.an1an1 an2D.anan1ABCD的所有棱长均相等，过其外一点且与直线B.3C.4PA和BC所成的角都是60°的D.54正方形网格，可看成是横向、纵向各五条相等线段相交成的封闭图形，横向、2条线段,则围成的封闭图形为正方形的概率为B.C.一1011.已知双曲线2xC：—a22yb21(a0,b0）的右焦点为F,过F作直线l与两条渐近线交于A,B两点，若OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点），则OAB的面积为A.a2B.2a2C.2a2或a2D.2a2或二212.如图，正方形ABCD的边长为EF过点。，且OEOF1,。是正方形ABCD的中心，线段EF绕着点O旋转，M为线段AB上的动点，则MEMF的最小值为2B- 22C.D.,V二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。a6.设Sn为等差数列｛an｝的前n项和.若S42a5,则瞪.1.关于x的不等式4logax0(a0且a1)的解集为x|0x—，则a的值为215.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，P,Q是椭圆C上关于原点O15.已知椭圆C的中心在原点，焦点在圆的右顶点.若|PQ||OA|,APQ90，则C的离心率为某公园有半径为50米的圆形人工草坪，如图，草坪边缘 A,B两处雕塑的连线恰为草坪的直径，雕塑 A在草坪中心的正西方向.从雕塑A处沿北偏东 (弧度)角方向建造走廊到草坪边缘P处，从P处沿草坪边缘建造弧形走廊到雕塑 B处，再从雕塑B处沿南偏西 (弧度)角方向建造走廊到草坪边缘Q处(走廊的宽度和雕塑的大小忽略不计) ，则沿路径APBQ建造的走廊的总长度取最大值时 的值为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。(12分),,一，_ _ 一一一1一已知在ABC中，ACBC,延长BC到点D,使得DCBC-BD.2sinBAD0(1)证明： 2；sin(BD)一a 4 (2)右sinB—,求tanBAD的值.5(12分)2、假定电脑的开机时间服从正态分布 N(,).某电脑公司为了解某地区的电脑配置及使用情况，每天选取10位电脑用户进行市场调查，并邀其参加相关活动.(1)记X为某天抽取的10位电脑用户中，电脑开机时间在 ( ， )之外的用户数，求P(X1)及X的数学期望；(2)在随机调查中，如果电脑开机时间大于 ，将对该用户提供免费上门技术支持.求在一个月(30天)内，该公司提供上门技术支持的用户数大约为多少.参考数据：若随机变量 Z服从正态分布N(,2),则P(Z)0,6827, 10 0.6827 0.022.

(12分)BC.如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD,BCCD,AB(1)求证：ABCD.BC.(2)若BCCD2,AC2J3,求二面角CABD的正弦值.(12分)已知抛物线C：y22Px(p0)的焦点为F,圆E:x2y22x0,P(x0,y°)为C上的动耳八、、♦(1)设抛物线C与圆E交于A,B两点(异于坐标原点O),若AOB60,求C的方程；(2)设p1,X02,过点P作圆E的切线分别交y轴于点Q,R,求|QR||PF|的最小值.(12分)已知函数f(x)xeX(a1)x(aR).(1)若a2,证明：f(x)0.(2)若关于x的不等式lnx1f(x)恒成立，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分。请考生从第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。［选彳4-4:坐标系与参数方程］(10分)x2 2cos,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (为参数)，A(J2,0).以y2sin坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos2sin,曲线C1C2交于M,N两点.(1)说明Ci是哪一种曲线，并将G的方程化为极坐标方程；(2)设B为MN的中点，求上回的值.|MN|［选彳4-5:不等式选讲］(10分)已知|a|1,|b|1.证明：|ab||ab|2；|ab1||ab|0.、选择题C【解析】由题意得z2i位于第三象限，故选C.2.A【解析】由题意得A{x|3.4.5.6.7.数学（理科）参考答案2i(1i)(1i)(12x2}C【解析】由题意可知随机抽取的总人数为2000.30160,故报价不低于B【解析】因为abc,且ab显然A,C选项不正确；当a2acbc,故B正确.故选B.i)10i,则z1i,所以z所对应的点（1,1）{1,2}可彳导a2.故选A.0.0515万元的人数为200,其中报价在［4,5）的人数为200(10364060)54.故选C.0,c0,b的符号不确定，当b0时,c1时，D选项显然不成立;因为C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，结合图形可知，当直线z取得最小值，zminB【解析】因为ab0,内单调递增，结合函数224 6.故选C.函数f(x)sincosx、-2sinf（x）的图象可知，当34b一时,

4D【解析】该正方体如图所示，由侧视图可知，正方体的面对角线长为以正方体的体积Va32亚.故选d.x2y过点A(2,4)时,一在区间4ab取最小值a石，所C【解析】设等比数列｛an｝的公比为q,因为S23,S415,则a［（1q）3①，a1（1q）15,整理得ai（1q）（1q2）15②，②除以①得1q25.因为an0,则1qq2,a11,所以an2n1.对于A选项，当n1时，a〔a32a2,A错误；对于B选项，当n2时，82 3a34,b错误；对于c选项，a053 92n1,n1an1an262，必有anan3an1an2,C正确；对于D选项，当n1时，a1a2 2a34,D错误.故选C.B【解析】因为四棱锥PABCD的所有棱长均相等，则有AD〃BC,根据两条异面直线所成的角的定义，问题可以转化为求过点 A且与直线PA和AD所成的角都是60的直线条数.因为PAD60,其补角为120,可知直线条数为3.故选B.C【解析】结合图形可知，在网格中任取4条线段，若能围成封闭图形，则横向和纵向各选两条线段，共有C2c5=100种情况.设网格图中每个小正方形的边长为 1.因为每个正方形都对应着2 2四条线段，边长为1的正万形有416个，边长为2的正方形有39个，边长为3的正方形有224个，边长为4的正方形有121个，共1694130种情况，所以在能围成封闭30 3图形的前提条件下，围成的封闭图形为正方形的概率 P-30-3.故选C.10010D【解析】若C的渐近线互相垂直，且lx轴时， OAB为等腰直角三角形，易知焦点F到渐近线的距离为b,则|OA|2a,所以OAB的面积为2a2.如图所示，若l与一条渐近线垂直，在直角OFB中，|直，在直角OFB中，|FB|b,|OB||AB|a,所以OAB的面积812,,,—a.故选D.2A【解析】以O为坐标原点，平行于BC的直线为X轴，垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由OEOF1,可设E(cos,sin角坐标系，则由OEOF1,可设E(cos,sin),F(cossin),M则MEcos苧,sin m,MFcos芋sinTOC\o"1-5"\h\z 1 2 2 2 2 1 1\o"CurrentDocument"MEMF— cos2 m2 sin2 m2 — —•故选 A.2 2 2、填空题13.2【解析】设等差数列13.2【解析】设等差数列｛an｝的公差为d.由S42a5得4©6d2al8d,解得a〔d,所以a3a12d3d,a6a15d6d,所以学■以2.a3 3d14.22-【解析】不等式414.22-【解析】不等式4Xlogax0可转化为4X logax,显然01,在同一直角坐标系X 1中分别作出y4x和ylogax的图象如图所示.因为不等式的解集为 x|0x—，设点A215.以在RtOPA中，cos为两个函数图象的交点，则又因为225 … 上、一空【解析】不妨设点5APQ1 一xPOA一,则POA60.设椭圆C:-22 a2b1(a,3a_a 1a|OP|a,可得P一,2 44一 a2 3a2，代入椭圆C的方程得至於诉216a 16b以a25(a2c2),即c2I,,故椭圆C的离心率为.a5 516.—【解析】如图所示,3连接PB,PO,在RtABP中,AB100,PAB—，所以

2AP100cos—2100sin,由于POB2PAB_ ……_ c2,所以弧PB的长PB50( 2)50100,由题意可知走廊的总长度l(200sin50 1000,-,所以2)200cos100,0,20.当0时，1()0,1()单调递增；当一30,1()单调递减,所以当走廊的总长度1取得最大值.三、解答题17.(1)证明:因为八八1DCBC-BD,

2所以1_ADcosDABcosBBD.21.在ABD中，根据正弦te理得sinBcosDsinDcosB—sin2BAD(2)解:1.即sin(BD)—sinBAD所以sinBAD2

sin(BD)(5分)由(1)得，sin(BD)2sin(BD),所以sinBcosDcosBsinD2(sinBcosDcosBsinD),整理得3cosBsinDsinBcosD,4又因为sinB一，且B为锐角，则5所以tanBADtan(BD)3

cosB—，tanB5

tanBtanD1tanBtanD4,tanD348.11(10分)(12分)18.解:(1)抽取的一位用户的电脑开机时间在 ()之内的概率约为0.6827,从而开机时间在( ， )之外的概率为0.3173,故X~B(10,0.3173).因此P(X1)1P(X0)10.6827100.978,(6分)X的数学期望E(X)10(6分)(2)记Y表示一天内抽取的10位电脑用户其电脑开机时间大于 的用户数，... .一 一、 03173 由第(1)问可知抽取的一位用户电脑开机时间大于 的概率为 0.15865,2所以E(Y)100.158651.5865,故在一个月内，该公司提供上门技术支寸I的用户数大约为 1.58653047.59548. (12分)19.(1)证明：取AC的中点E,连接BE.19.因为ABBC,所以BEAC.又因为平面ABC平面ACD,平面ABC平面ACDAC,所以BE平面ACD.因为CD平面ACD,所以BECD. (4分)又因为BCCD,且BEBCB,(6分)所以CD平面ABC.因为AB平面ABC,所以ABCD.(6分)(2)解：以C为坐标原点，DC,BC的方向分别为x轴、y轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系 Cxyz.则C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),A（0,3j3）,AB（0,1,邪）,BD（2,2,0）.平面ABC的法向量为CD（2,0,0）.（8分）设ni(x,y,z)为平面ABD的一个法向量，则niAB0,即y3zQn1BD0,2x2y0,取z1,得n1(v;3,T3,1),nCD2.3 21|ni||CD|277 7'27~J~-9,.'7ABD的正弦值为今7.20.解：(1)圆E的方程整理得(x1)2y21,不妨设点A在第一象限.因为AOB60°,所以AEB120o,由抛物线与圆的对称性可知AB设AB与x轴交于点H,在RtAEH中，由题意可知|AE|1,AEH60,cosni,CDsinn1,CD所以二面角C（12分）x轴.… ..3 1则有|AH|行3,|EH|-,2 2故A—, ,代入到y22Px中可得p—,22 4所以抛物线C的方程为y21x.2(2)由题意可知y22x0,设Q(0,a),R(0,b),（4分）则kpQ风Ax所以直线PQ的方程为y"~axa,x0即（y0a）xx0yax0 0因为直线PQ与圆E相切,所以1y° a ax0|V。a)2x021,即(％2)a22y0ax0同理，由直线PR与圆E相切，得（x02）b22y°b所以a,b是方程（x02）x22y0xx00的两根,其判别式 4yt24x0(x02)4x120,则QR|ab|.(ab)24ab根据抛物线的定义可得|PF|x02x0x0则有|QR||PF| x0|QR||PFI当且仅当2tx0 0，(6分)2y0x02abXoX。2(t2)2(t2)10g—时,QRPF的最小值为(1)证明：若a2,f(x)x _xf(x)exe当x0时，x所以(x1)ex当x0时，x所以（x1）exV5,xxe(x所以f(x)f(0)（2）解：由题意可知Inx11,且f(x)f(x)2x0

亡.12，22xxx022txo1)e(8分)0,10

t1.94,5922时取等号,f（x）在区间（0,）上单调递增;f（x）在区间（，0）上单调递减;(12分)f(x),即xex(1a)xInx10在区间(0,（4分））上恒成立,22.解:整理得a设g(x)设h(x)x2exInx1elnx1Inx2xxelnx2x(6分)Inx,则h(x) (x22x)ex当x0时，h(x)故h(x)在区间所以存在唯一的使得当x0,xo1一,x0exa#时,且h(x°)x2ex0构造函数(x)x0 (0,1)时,0,上单调递增，且h(1)e时,1ee0,1 … -,1，使得g(x°) h(x°)eg(x)lnx0x0一, 1所以x0 ln—,所以x00,g(x)0,所以g(x)单调递减;0,所以g(x