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云南省昆明市官渡区云子中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知的切线的斜率等于1,则其切线方程有()A.1个B.2个
C.多于两个
D.不能确定参考答案:B2.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6参考答案:B3.已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点满足=
(++),则点一定为三角形ABC的
(
)A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心
D.AB边的中点参考答案:B4.已知复数,则“”是“z为纯虚数”的(
)A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:C若
则,故是纯虚数,是充分条件,
反之,若是纯虚数,
则一定是,是必要条件,
故选:C.
5.已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0的解集为()
A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,2)C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)∪(2,+∞)参考答案:C【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象.【分析】结合已知中可导函数f(x)的图象,分析不同区间上(x2﹣2x﹣3)和f′(x)的符号,进而可得答案.【解答】解:由已知中函数f(x)的图象可得:当x<﹣1时,函数为增函数,此时f′(x)>0,x2﹣2x﹣3>0,(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0;当﹣1<x<1时,函数为减函数,此时f′(x)<0,x2﹣2x﹣3<0,(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0;当x>1时,函数为增函数,此时f′(x)>0;当1<x<3时,x2﹣2x﹣3<0,(x2﹣2x﹣3)f′(x)<0,当x>3时,x2﹣2x﹣3>0,(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0;综上可得:不等式(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0的解集为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(3,+∞),故选:C6.设集合U=R,集合M=,P=,则下列关系正确的是(
)A.M=P
B.(CUM)P=
C.
PM
D.MP参考答案:D7.过椭圆上一点作圆的两条切线,为切点,过的直线与轴、轴分别交于两点,为坐标原点,则的面积的最小值为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D8.若函数,则(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B略9.如右图,A、B是⊙O上的两点,AC是⊙O的切线,∠B=70°,则∠BAC等于(
)A.70° B.20° C.35°
D.10°参考答案:B10.已知集合,,则如图中阴影部分所表示的集合为(
)A. B.C. D.参考答案:D【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为,然后根据集合的基本运算求解即可.【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为,或,,,即,故选D.【点睛】本题主要考查集合的计算,利用图象确定集合关系是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)=x3+(1+a)x2+ax有两个不同的极值点x1,x2,且对不等式f(x1)+f(x2)≤0恒成立,则实数a的取值范围是.参考答案:≤a≤2或a≤﹣1【考点】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】把x1,x2代入到f(x)中求出函数值代入不等式f(x1)+f(x2)≤0中,在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式,求出解集即可.【解答】解:因f(x1)+f(x2)≤0,故得不等式x13+x23+(1+a)(x12+x22)+a(x1+x2)≤0.即(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+(1+a)[(x1+x2)2﹣2x1x2]+a(x1+x2)≤0.由于f′(x)=3x2+2(1+a)x+a.令f′(x)=0得方程3x2+2(1+a)x+a=0.△=4(a2﹣a+1)≥4a>0,x1+x2=﹣(1+a),x1x2=,代入前面不等式,并化简得(1+a)(2a2﹣5a+2)≥0.解不等式得≤a≤2或a≤﹣1,因此,实数a的取值范围是≤a≤2或a≤﹣1.故答案为:≤a≤2或a≤﹣1.【点评】本题考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力,灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力.12.已知2a=5b=,则=.参考答案:2【考点】对数的运算性质.【分析】先由指对互化得到,再利用logab?logba=1,得出题目所求.【解答】解:由题意可知,所以,所以=,故答案为2.【点评】本题考查指对互化,以及换底公式的结论,对数运算性质,属中档题.13.函数y=的定义域为 。参考答案:14.已知数列的首项,则数列的通项公式
参考答案:15.若在不等式组所确定的平面区域内任取一点,则点的坐标满足的概率是_____________.参考答案:16.不等式的解集是____________.参考答案:试题分析:由题意得,原不等式可化为,即,所以不等式的解集为.考点:解一元二次不等式.17.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积为,则实数的值是
▲
.参考答案:2略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知等差数列{an}中:,求数列的通项公式.参考答案:19.(本小题满分12分)第十四届亚洲艺术节将于2015年11月在泉州举行,某商场预测从今年1月起前x个月,顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是该商品每件的进价q(x)元与月份x的近似关系是.(Ⅰ)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式;
(Ⅱ)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元?参考答案:(I)当; …………1分当…4分验证,…………6分
(Ⅱ)该商场预计销售该商品的月利润为(舍去)……9分综上5月份的月利润最大是3125元。 …………12分20.(本小题满分12分)已知函数在上是增函数(1)求实数的取值集合(2)当取值集合中的最小值时,定义数列;满足且,,设,证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式.(3)若,数列的前项和为,求.参考答案:(1)因为函数在上是增函数,
只需在满足恒成立,
即
4分(2),
即,是等比数列,首项为,公比为3
8分(3)由(2)可知令,
两式相减得
12分略21.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若对任意,都有恒成立,求实数m的取值范围.参考答案:(1)由题知:当m≤0时,>0在x∈(0,+∞)时恒成立∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.……2分当m>0时,令f′(x)>0,则;令f′(x)<0,则.∴f(x)在为增函数,f(x)在为减函数.…………5分(2)法一:由题知:在上恒成立,即在上恒成立。
………7分令,所以…………8分令g′(x)>0,则;令g′(x)<0,则.
∴g(x)在上单调递增,在上单调递减.∴………………11分∴
……………12分法二:要使f(x)≤0恒成立,只需(1)当m≤0时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以即,这与m≤0矛盾,此时不成立…………………7分(2)当m>0时,①若即时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以,即,
这与矛盾,此时不成立.…………………9分②若1<即时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.所以即解得
,又因为,所以
…………11分③即m2时,f(x)在递减,则∴
又因为,所以m2
综上…12分22.已知函数在处的切线的斜率为1.(1)求a的值及的最大值;(2)用数学归纳法证明:参考答案:(1);(2)见证明【分析】(1)求出函数的导函数,利用即可求出的值,再利用导函数判断函数的增减性,于是求得最大值;(2)①当,不等式成立;②假设当时,不等式成立;验证时,不等式成立即可.【详解】解:(1)函数的定义域为.求导数,得.由已知,得,即,∴.此时,
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