云南省大理市广通中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

云南省大理市广通中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.利用反证法证明：若，则，应假设（

）A.a，b不都为0 B.a，b都不为0C.a，b不都为0，且 D.a，b至少一个为0参考答案：A【分析】表示“都是0”，其否定是“不都是0”.【详解】反证法是先假设结论不成立，结论表示“都是0”，结论的否定为：“不都是0”.【点睛】在简易逻辑中，“都是”的否定为“不都是”；“全是”的否定为“不全是”，而不能把它们的否定误认为是“都不是”、“全不是”.2.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．[，1） D．[，1）参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出简图，则＞，则e=．【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选A．3.已知方程，它们所表示的曲线可能是（

）参考答案：B4.下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是(

)A．③④；

B．①②；

C．②③；

D．①④参考答案：D5.变量满足约束条件，则目标函数的最小值（

）A

2

B

4

C

1

D

3参考答案：D6.一个容量为20的数据样本，分组后，组距与频数如下：（10,20］2个，（20，30］3个，（30，40］4个，（40，50］5个，（50，60］4个，（60，70］2个，则样本在区间（-∞，50］上的频率是

（

）A、5%

B、25%

C、50%

D、70%参考答案：D7.在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是(

).A．(1)(2)

B．(1)(3)

C．(2)(4)

D．(2)(3)参考答案：8.某公园现有A、B、C三只小船，A可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有

（

）

A．48

B．36

C．30

D．18参考答案：D略9.已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可．【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示∴所求概率P=1﹣=；故选：D．【点评】本题考查几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=．参考答案：3【考点】类比推理．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．12.已知为坐标原点，，，，若点在直线上运动，则的最小值为

▲

.参考答案：略13.已知函数，则

.参考答案：14.已知函数在[1,e]上有两个零点，则a的取值范围是______________参考答案：【分析】求出函数的导数f′（x），x∈[1，e]．通过当a≥﹣1时，当a≤﹣e时，当﹣e＜a＜﹣1时，判断导函数的符号，得到函数的单调性然后转化求解a的范围即可．【详解】∵f′（x），x∈[1，e]．当a≥﹣1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上单调递增，不合题意．当a≤﹣e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上单调递减，也不合题意．当﹣e＜a＜﹣1时，则x∈[1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）[1，﹣a）上单调递减，x∈（﹣a，e]时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣a，e]上单调递增，又f（1）＝0，所以f（x）在x∈[1，e]上有两个零点，只需f（e）＝1a≥0即可，解得a＜﹣1．综上，a的取值范围是：[，﹣1）．故答案为．【点睛】本题考查函数的导数的应用，导函数的符号以及函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用．15.已知幂函数的图象过点，则的值为

▲

.参考答案：1设，其图像过点，则有，解得，即，所以，则.

16.若a≥0,且z|z|+az+i=0,则复数z=

.参考答案：17.已知离散型随机变量X的分布列为X123Pm

则m=________参考答案：【分析】根据所有可能取值对应的概率和为可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查分布列中概率的性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．【解答】解：（1）由已知中：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…归纳可得：第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6

…第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn…（2）下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn①当n=1时，由已知得原式成立；…②假设当n=k时，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）kk…那么，当n=k+1时，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）kk+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1时，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．19.已知函数f（x）=（x﹣a）e﹣x，其中a为常数．（1）判断f（x）在x=0处的切线是否经过一个定点，并说明理由；（2）讨论f（x）在区间[﹣2，3]上的单调性．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，计算f′（0），f（0）的值，求出切线方程，从而求出直线过定点（1，1）；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）由题意得f′（x）=，f′（0）=1+a，f（0）=﹣a，则在x=0处的切线方程是：y+a=（1+a）x，即a（x﹣1）+x﹣y=0，故定点是（1，1）；（2）由f′（x）=，得f（x）在（﹣∞，1+a）上递增，在（1+a，+∞）递减，因此，当1+a≥3即a≥2时，f（x）在[﹣2，3]递增，当1+a≤﹣2即a≤﹣3时，f（x）在[﹣2，3]递减，当﹣2＜1+a＜3即﹣3＜a＜2时，f（x）在[﹣2，1+a）递增，在（1+a，3]递减．20.已知数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{an}的前n项和Sn=nbn．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：解：（1）由已知，.

…………2分所以．从而当时,，又也适合上式,所以.

……………6分（2）由（1），

…………8分

所以．

…………12分略21.在△ABC中，已知角A，B，C所对的三条边分别是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．参考答案：【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知的表达式，结合两角和的正弦函数以及三角形的内角，求出B的值即可．（2）通过余弦定理，以及B的值，a+c=4，求出ac的值，然后求出三角形的面积．【解答】解：（1）因为，所以得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sinA=0，∵A∈（0，π），∴sinA≠0，则cosB=﹣．B∈（0，π），∴B=．（2）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∵，B=，∴13=a2+c2+ac∴（a+c）2﹣ac=13∴ac=3∴．22.如图，过点（）且离心率为的椭圆的左、右顶点坐标分别为，若有一点在椭圆上，且异于点，直线与其右准线分别交于点.(1)求该椭圆的方程；(2)若点H为AP的中点，当点运动时,直线AP与直线OH斜率之积是否为定值，若是定值求出该定值，若不是定值，说明理由；(3)当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论