上海顾村中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

上海顾村中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|x2﹣2≥0}，B={x|x2﹣4x+3≤0}则A∪B=(

)A．R B．{x|x≤﹣或x≥1} C．{x|x≤1或a≥2} D．{x|x≤2或x≥3}参考答案：B【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合；不等式．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+）（x﹣）≥0，解得：x≤﹣或x≥，即A={x|x≤﹣或x≥}，由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）≤0，解得：1≤x≤3，即B={x|1≤x≤3}，则A∪B={x|x≤﹣或x≥1}，故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.函数的定义域是 ()A．(－∞，－1)

B．(1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，＋∞)参考答案：C3.曲线f（x）=++1在（1，6）处的切线经过过点A（﹣1，y1），B（3，y2），则y1与y2的等差中项为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6参考答案：D【考点】等差数列的通项公式；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合法；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．【分析】由导数的几何意义求出曲线f（x）=++1在（1，6）处的切线为y=﹣，由此求出y1，y2，从而能求出y1与y2的等差中项．【解答】解：∵f（x）=++1，∴，∴f′（1）==﹣，∴曲线f（x）=++1在（1，6）处的切线为：y﹣6=﹣，即y=﹣，∵切线经过过点A（﹣1，y1），B（3，y2），∴，=﹣1，∴y1与y2的等差中项：A===6．故选：D．【点评】本题考查等差中项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．4.已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．解答： 解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，平行四边形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．5.命题“”的否定是（

）A.

B.C.

D.

参考答案：C知识点：命题的否定解析：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“”的否定，故选：C．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．

6.设函数，若存在，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：D的定义域是，，当时，，则在上单调递增，且，故存在，使；当时，令，解得，令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，解得．综上，的取值范围是．故选D．7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是(

) A． B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．参考答案：B考点：圆的标准方程．专题：压轴题．分析：设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．解答： 解：设圆心为（a，1），由已知得，∴．故选B．点评：本小题主要考查圆与直线相切问题．还可以数形结合，观察判定即可．8.如图所示的程序框图，该算法的功能是A．计算…的值B．计算…的值C．计算……的值D．计算……的值参考答案：初始值，第次进入循环体：，；当第次进入循环体时：，，…，给定正整数，当时，最后一次进入循环体，则有：…，，退出循环体，输出……，故选．9.设函数，则它的图象关于

(

）

A．x轴对称

B．y轴对称

C．原点对称

D．直线对称参考答案：C10.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．20 B．21 C．200 D．210参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=21时，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．【解答】解：执行程序框图，有s=0，i=1s=1，i=2，不满足条件i＞20，s=3，i=3，不满足条件i＞20，s=6，i=4，不满足条件i＞20，s=10，i=5，不满足条件i＞20，s=15=1+2+3+4+5，i=6，不满足条件i＞20，s=21=1+2+3+4+5+6，…观察规律可知，i=20，不满足条件i＞20，s=1+2+3+…+20==210，i=21，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若n＞0（0＜a＜1），则关于x的不等式≥0的解集为．参考答案：（﹣∞，m]∪（n，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得m＞1，n＞1，由1＜a+1＜，即有m＜n．再由分式不等式转化为二次不等式，由二次不等式的解法即可解得．解答：解：若n＞0（0＜a＜1），则m＞1，n＞1，又a+1﹣==＜0，即有1＜a+1＜，即有m＜n．不等式≥0即为（x﹣m）（x﹣n）≥0，且x﹣n≠0，解得x＞n或x≤m．则解集为（﹣∞，m]∪（n，+∞）．故答案为：（﹣∞，m]∪（n，+∞）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，同时考查对数函数的性质，属于基础题和易错题．12.若函数f(x)＝(k为常数)在定义域R上为奇函数，则k＝________；参考答案：

1

13.若实数满足则的最大值是

．参考答案：1满足题中约束条件的可行域如图所示，要求的最大值即求t=x+2y>0的最大值，由t=x+2y，得，即求函数在y轴上的截距的最大值，数形结合可知当直线平行移动到点A（0，1）时，截距最大，此时tmax=2，因此zmax=log22=1.故答案为：1．

14.在平行四边形ABCD中，｜｜＝4，∠BAD＝60°,E为CD的中点，若·＝4，则｜｜______________．参考答案：略15.根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布，，则峰期后移了________天，峰值下降了________%（注：正态分布的峰值计算公式为）参考答案：35

50【分析】（1）直接由两峰值横坐标作差求峰期后移的天数；（2）由求解峰值下降的百分数．【详解】解：（1）由题意可知，峰期后移了（天）；（2）峰值下降了．故答案为：35；50【点睛】本题考查了正态分布的实际应用，解题的关键是熟知正态曲线是关于对称，在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1等正态密度曲线图象的特征.16.=

．参考答案：【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接由对数的运算性质化简得答案．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．17.如果对于任意一个三角形，只要它的三边长都在函数的定义域内，则，，也是某个三角形的三边长，称函数为“保三角形函数”．现有下列五个函数：①；②；③；④；⑤．其中是“保三角形函数”的有

．(写出所有符合条件的序号)参考答案：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数.（1）求的极值；（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围.参考答案：（1）的定义域为,，……2分令得，当时，是增函数；当时，是减函数，∴在处取得极大值，，无极小值.

………………5分（2）①当时，即时，由（1）知在上是增函数，在上是减函数，,又当时，，

当时，；当时，；与图象的图象在上有公共点，，解得，又，所以.………9分

②当时，即时，在上是增函数，∴在上的最大值为，所以原问题等价于，解得.又,∴无解.

综上，实数a的取值范围是.

……13分19.（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（1）的概率的分布列及期望E;

(2)

停车时最多已通过3个路口的概率

参考答案：解析：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4

用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，则P（AK）=独立.故

从而有分布列：

（II）

答：停车时最多已通过3个路口的概率为.

20.在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，PA=AD=DC=2AB=2，PD=AC，E是棱PC的中点，且BE⊥CD.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值.参考答案：（Ⅰ）取中点，连接，由已知,故为平行四边形所以，因为，故.又，所以

……2分，所以.由已知可求，，所以，所以又，所以

…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.向量，，，.…6分由点在棱上，设，.故.由，得，因此，，解得.即.……………8分设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.…………………10分取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.

…………………12分

21.（本小题满分12分）已知点在抛物线上，且M到抛物线焦点的距离为2.直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点为.（Ⅰ）求直线l的方程.（Ⅱ）点Q是直线y=x上的动点，求的最小值.

参考答案：解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为,抛物线方程为 ……2分设