上海长青学校2022年高三数学理期末试题含解析

上海长青学校2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知满足不等式则函数取得最大值等于

（A）3

（B）

（C）12

（D）23参考答案：12作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如下图所示.

把变形为y=-2x+Z,得到斜率为-2,在y轴上的截距为Z,随Z变化的一族平行直线.

由图可以看出,当直线Z=2x+y经过可行域上的点A时,截距Z最大,经过点B时,截距Z最小.

解方程组得A点坐标为(5,2).

解方程组得B点坐标为(1,1)；同理得C点坐标为.

所以Zmax=2×5+2=12,

2.设集合A＝{y|y＝x2}，B＝{y|x2＋y2＝2}，则A∩B＝

（A）{(1，1)，(－1，1)} （B）{－2，1}

（C）[0，] （D）[0，2]参考答案：C 略3.已知复数满足（为虚数单位），则z的虚部为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.设，，（其中e=2.71828…是自然对数的底数），则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】判断a,b,c的范围即得a,b,c的大小关系.【详解】由题得，且b>0.，所以.故选：B5.在R上可导的函数()的图象如图所示，则关于的不等式()﹤0解集为A.

B.

C.

D.参考答案：A【知识点】导数的概念以及运算B11解析：当时，不等式不成立；当时，则不等式的解集等价于，此时函数为减函数，从图像可得；当时，则不等式的解集等价于，此时函数为增函数，从图像可得；所以解集为，故选择A.【思路点拨】通过的取值范围进行分类讨论，得到每段上的正负，再根据单调性与导数之间的关系，得到结果.6.设a，b，i是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略7.复数(i为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为（

）A.(2,－1) B.(1,－1) C.(1,2) D.(2,2)参考答案：A分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标。详解：复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为，选A.点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题。8.设，且，符合此条件的（A、B、C）的种数 （

）

A．500

B．75

C．972

D．125

参考答案：A9.如图，长方形ABCD的长，宽，线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（

）参考答案：C10.设，则A.

B.

C.

D.参考答案：C因为,,，因为，所以，所以，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为D，若对于任意，当时都有，则称函数在D上为非减函数，设在上为非减函数，且满足以下条件：则

．参考答案：略12.的展开式中常数项的系数为_____________．参考答案：略13.已知向量=（﹣1，2），=（m，3），m∈R，若⊥（），则m=

．参考答案：11【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，列方程求出m的值．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（m，3），m∈R，∴+=（m﹣1，5），又⊥（），∴?（+）=﹣1×（m﹣1）+2×5=0，解得m=11．故答案为：11．【点评】本题考查了平面向量垂直的应用问题，是基础题．14.如图，正方形边长是2，直线x+y﹣3=0与正方形交于两点，向正方形内投飞镖，则飞镖落在阴影部分内的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据几何概率的求法，可以得出镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：阴影部分是正方形去掉一个小三角形，设直线与正方形的两个交点为A，B，∴在直线AB的方程为x+y﹣3=0中，令x=2得A（2，1），令y=2得B（1，2）．∴三角形ABC的面积为s==，则飞镖落在阴影部分的概率是：P=1﹣=1﹣=1﹣=．故答案为：．15.已知直线与直线平行，则

参考答案：16.关于函数有下列命题：①函数的图象关于轴对称；②在区间上，函数是减函数；③函数的最小值为；④在区间上，函数是增函数．其中正确命题序号为_______________．参考答案：17.已知且．求_________.参考答案：【分析】先求出sin【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析得到，否则会出现双解.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，即可求g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（Ⅱ）当a=1时，…可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减…∴g（x）max=g（1）=1．…19.已知R上的不间断函数

满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。又函数

满足：对任意的，都有成立，当时，。若关于的不等式对恒成立，则的取值范围(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A20.已知函数

（1）若的表达式； （2）若函数上单调递增，求b的取值范围

参考答案：解：（1）（2）x－2+0－0+↗极大↘极小↗ 上最大值为13 （3）上单调递增 又 依题意上恒成立

①在 ②在 ③在 综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0略21.已知a＞0，函数f（x）=a2x3﹣3ax2+2，g（x）=﹣3ax+3．（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的极值；（3）若?x0∈（0，]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由导数值即曲线上过该点的切线的斜率求出斜率，后由点斜式写出切线方程；（2）求出原函数的导函数，求出导函数的两个零点，由零点对定义域分段，得到在各区间段内导函数的符号，判断出原函数的单调性，从而求出原函数在[﹣1，1]上的极值点，进一步求得函数的极值．（3）设F（x）=f（x）﹣g（x），求导，由F（x）为增函数，根据闭区间x的范围，求出F（x）的最大值，只要F（x）max＞0即可，列出不等式求得a的范围．【解答】解：由f（x）=a2x3﹣3ax2+2，求导，f′（x）=3a2x2﹣6ax，（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=3x2﹣6x，f′（1）=﹣3，f（1）=0，∴f（x）在点（1，f（1））的切线方程的斜率k=﹣3，直线方程y=﹣3（x﹣1），即y+3x﹣3=0，函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程y+3x﹣3=0；（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x1=0，x2=，（1）当0＜＜1，即a＞2时，x∈（﹣∞，0），（，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，）时f′（x）＜0，∴当x在区间（﹣1，1）上，x，f′（x），f（x）变化，x（﹣1，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（）=；当=1，即a=2时，x∈（﹣∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，1）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（1）=a2﹣3a+2；当＜1，即0＜a＜2时，x∈（﹣∞，0），（，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2．综上，当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（）=；当a=2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（1）=a2﹣3a+2；当0＜a＜2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2；（3）设F（x）=f（x）﹣g（x）=a2x3﹣3ax2+3ax﹣1，（x∈（0，]），对F（x）求导，得F′（x）=3a2x2﹣6ax+