上海钱库高级中学2021年高三数学理月考试卷含解析

上海钱库高级中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，则（

）A．(4,+∞)

B．(－∞,1]

C．(1,4]

D．(2,4)参考答案：C因为，所以，因此，故选C.

2.已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．【解答】解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．3.函数y=的值域是(

)A．（﹣∞，4） B．（0，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）参考答案：C【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】计算题．【分析】本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．【解答】解：由题意令t=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≥﹣2∴y=≤=4∴0＜y≤4故选C【点评】本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质．4.(理科)已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（）

A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：A5.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.已知i是虚数单位，且的共轭复数为，则等于

A．2

B．I

C．0

D．-l参考答案：A略7.设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；则A∩B（） A．（1，2） B． [1，2] C． [1，2） D． （1，2]参考答案：B8.已知｜｜=｜｜=1，｜﹣｜=，则｜+｜=（）A．1B．C．D．2参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积的运算和向量的模的计算即可求出．【解答】解：｜｜=｜｜=1，｜﹣｜=，∴｜﹣｜2=｜｜2+｜｜2﹣2=1+1﹣2=2，∴2=0∴｜+｜2=｜｜2+｜｜2+2=2，∴｜+｜=，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．9.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是()A．1

B.

C.

D.参考答案：D略10.若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（

）

或

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,函数在上单调递减.则的取值范围是

参考答案：略12.已知表示两条直线,表示一个平面,给出下列四个命题:

①②

③

④则正确命题的序号为____________(写出所有正确命题的序号).参考答案：答案：①④13.（几何证明选做题）如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于.若，，则

.参考答案：如下图:，得.14.已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M–EFGH的体积为

.参考答案：分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.

15.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为_________．参考答案：略16.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为

；参考答案：17.若函数图像上第一象限有一点A到轴的距离为1，与轴的交点为B，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）当时，由得，则；当时，恒成立；当时，由得，则.综上，不等式的解集为（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.19.（12分）每进行一次游戏，赢的话可领取1000元，输的话则要罚300元.在这种游戏中某人赢的概率是，输的概率是，如果这个人连续8次进行这种游戏.（1）在这8次游戏中，求赢了多少次才能保证在扣除罚款后至少可得6000元；

（2）试求在这8次游戏中，扣除罚款后至少可得到6000元的概率.参考答案：解析：（1）设在8次游戏中赢了x次，则输了次

依题意

故

因此在这8次游戏中赢7次或8次，才能得证在扣除罚款后至少可得6000元.………………（6分）

（2）在8次游戏中，至少要赢7次，才能使扣除罚款后至少可得到6000元，必须在8次游戏中赢7，8次

由于这两个事件互不相容，因此所求的概率

…………（12分）20.在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设C（x，y），由点G是△ABC的重心，可得G，由y轴上一点M满足GM∥AB，可得．由|MC|=|MB|，利用两点之间的距离公式可得，即可得出；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，可得2k2﹣m2+6＞0，由四边形OPRQ为平行四边形，可得，可得R（x1+x2，y1+y2），利用根与系数的关系可得R．由点R在椭圆上，代入椭圆方程化为2m2=k2+3．结合△＞0，即可解出m的取值范围．解答：解：（I）设C（x，y），∵点G是△ABC的重心，∴G，∵y轴上一点M满足GM∥AB，∴．∵|MC|=|MB|，∴，化为即为△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，化为2k2﹣m2+6＞0，∴，．∵四边形OPRQ为平行四边形，∴，∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m=，∴R．∵点R在椭圆上，∴=6，化为2m2=k2+3．代入△＞0，可得m2＞0，又2m2≥3，解得或m．∴m的取值范围是∪．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其质、三角形重心性质定理、重心与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．参考答案：（1）函数的导数f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由y=0，得x=，∵切线在x轴上的截距为．∴=．解得a=1．（2）由（1）知f（x）=f（x）=ex﹣x2，则g（x）=e2x﹣ex﹣3x2，函数的导数g′（x）=2e2x﹣ex﹣6x，令h（x）=2e2x﹣ex﹣6x，h′（x）=2e2x﹣ex﹣6，令h′（x）＞0，得或（舍去），∴当x＞ln时，h（x）递增，当x＜ln时，h（x）递减，∴h（x）≥h（）=2（）2﹣﹣6ln=﹣6ln＞=，下面证明：ln（x+1）≤x，（x＞﹣1），设d（x）=ln（x+1）﹣x，则d′（x）=，则d（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴d（x）≤d（0）=0，∴ln（x+1）≤x，∴ln（+3）≤，∴h（x），即g（x）在R上单调递增．22.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2畅通；2～4基本畅通；4～6轻度拥堵；6～8中度拥堵；8～10严重拥堵．早高峰时段，从昆明市交通指挥中心随机选取了二环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．（1）

据此估计，早高峰二环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（2）某人上班路上所用时间若