上海邦德第一高级中学2022年高二数学文月考试题含解析

上海邦德第一高级中学2022年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为（）A.(1,0) B.(1,0)或(－1,－4)C.(2,8) D.(2,8)或(－1,－4)参考答案：B试题分析：设，或，点的坐标为或考点：导数的几何意义2.点F（c，0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆x2+y2=相切于点Q，且=，则双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．2参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用中位线定理，可得OQ∥PF′，|OQ|=|PF′|，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，即可得到．【解答】解：设左焦点为F′，由于O为F′F的中点，Q为线段PF的中点，则由中位线定理可得OQ∥PF′，|OQ|=|PF′|，由线段PF与圆x2+y2=相切于点Q，则|OQ|=，|PF′|=b，由双曲线的定义可得，|PF|﹣|PF′|=2a，即有|PF|=2a+b，由OQ⊥PF，勾股定理可得+（a+）2=c2，即b=2a，c2=5a2，∴e==．故选：C．3.在△ABC中，已知面积，则角C的度数为（

）A．135°

B．45°

C．60°

D．120°参考答案：B略4.阅读右边程序,若输入4，则输出结果是

（

）

A.2

B.15

C.6

D.3

参考答案：B5.曲线在点处的切线方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是（）A．互斥事件 B．不相互独立事件C．对立事件 D．相互独立事件参考答案：B【考点】C8：相互独立事件；C4：互斥事件与对立事件．【分析】直接利用互斥事件与对立事件以及对立事件的定义判断即可．【解答】解：由互斥事件与对立事件定义可知互斥事件是二者一个发生了另一个就不能发生．对立事件是二者互斥并且二者必有一个发生，相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．所以一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是不相互独立事件．故选B．7.动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是(

)A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=参考答案：C【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选C．【点评】此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．8.已知a＜b＜0,那么（

）A.a2﹤b2

B.﹤1

C.﹤

D.＞参考答案：D略9.已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1=1且前n项的和Sn满足（n∈N*，且n≥2），则a81=（）A．638 B．639 C．640 D．641参考答案：C【考点】数列的应用．【分析】等式两边同除以，可得}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而得到Sn=4n2﹣4n+1，利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得结论．【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴Sn=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选C．10.已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）A．3 B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】63：导数的运算；6F：极限及其运算．【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式f′（x）=即可解得．【解答】解：=故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的展开式中，的系数是

参考答案：31

略12.函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．参考答案：{x|0＜x＜1}【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}13.已知直线和圆交于两点，且,

则S△AOB=_____________．参考答案：略14.的展开式中，各项系数的绝对值之和为。参考答案：15.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an=2015，则n=．参考答案：1030【考点】数列的应用．【分析】根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2015＜452，可得2015出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第40个数为2015，由前44行的数字数目，相加可得答案．【解答】解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2015＜452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=40个数为2015，前44行共有=990个数，则2015为第990+40=1030个数．故答案为：1030．16.在△ABC中，AC=1，BC=，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧），当∠C变化时，线段CD长的最大值为

．参考答案：3【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】设∠ABC=α，AB=BD=a，由余弦定理，得CD2=2+a2+2sinα，cosα=，由此能求出当∠C变化时，线段CD长的最大值．【解答】解：设∠ABC=α，AB=BD=a，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2﹣2BD?BC?cos（90°+α）=2+a2+2sinα，在△ABC中，由余弦定理，得cosα=，∴sinα=，∴CD2=，令t=2+a2，则CD2=t+=t+≤+5=9，当（t﹣5）2=4时等号成立．∴当∠C变化时，线段CD长的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．17.若点到点的距离比它到直线的距离少1，则动点的轨迹方程是

--_____________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.孝感市及周边地区的市民游玩又添新去处啦！孝感熙凤水乡旅游度假区于2017年10月1日正式对外开放．据统计，从2017年10月1日到10月7日参观孝感市熙凤水乡旅游度假区的人数如表所示：日期1日2日3日4日5日6日7日人数（万）1113897810（1）把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的众数和平均数（精确到0.1）；（2）用简单随机抽样方法从10月1日到10月4日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1万的概率．参考答案：解：（1）总体的平均数为，总体的众数为8．（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1万”．从非指定参观日中抽取2天可能的基本事件有：，，，，，共6个，事件A包含的基本事件有：，，共3个，所以．

19.设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在定椭圆2x2＋y2＝k（k为常数，k＞0）上．参考答案：证明：(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(2)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为从而2x2＋y2＝22＋2＝＝＝1，此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD（Ⅰ）证明：BD⊥PC（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BD，AC⊥BD，PA，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥PC．（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，则∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，推导出BD⊥PO，AC⊥BD，求出梯形ABCD的高，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC．…解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC，知BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（6+2）=4，于是SABCD=×（6+2）×4=16．在等腰三角形AOD中，OD=AD=3，∴PD=2OD=6，PA===6，∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×16×6=32．…21.（本小题12分）若，证明

参考答案：证明：由

，得展开得

即

所以

略22.已知函数f（x）=alnx+x2+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单