第八章曲线积分与曲面

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曲线积分格林公式及其应用

曲面积分

高斯公式、通量与散度

斯托克斯公式、环流量与旋度第

章8

线积分与曲面积分28.1曲线积分8.1.1对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）8.1.3两类曲线积分之间的联系8.1.2对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）31引例实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值8.1.1对弧长的曲线积分4

2对弧长的曲线积分的定义5被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量6存在条件推广7注意：8性质93.

对弧长曲线积分的计算定理10注意特殊情形1112计算方法

化为对参数的定积分，“一代二换三定限”“一代”：将，代入被积函数)；“三定限”：对应于L的起点和终点，下限小上限大。“二换”：将换成13推广3

举例例1

计算所围区域的边界。O14解15例2

计算，其中问题（i）积分变量有无别的选择？哪种方法好？

（ii）如，结果如何？解

0θ16例3

计算曲线积分，其中Γ为螺旋线上相对于从0到2π的一段弧。解17例4

计算，其中（1）（2）解（1）（2）,,18问题：如上例中被积函数是，应如何做？例5

计算其中为连结解设是上任意一点，则∥,的直线段。直线的方程19的参数方程为20备选1解解备选2214.几何与物理意义22235.小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用24思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？25思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.268.1.2对坐标的曲线积分1.引例实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割27求和取极限近似值精确值28定义29类似地定义302.存在条件：组合形式31推广325.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.332.对坐标的曲线积分的计算定理34特殊情形35计算方法：化为对参数的定积分，“一代二定限”“一代”：将代入被积式。“二定限”：对应于L的起点、终点，不一定有。36(4)两类曲线积分之间的联系：函数在以为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且。又函数在L上连续。于是，由对坐标的曲线积分计算公式（1）有37

有向曲线弧L的切向量t的方向规定与L的方向一致。如L的方向对应于参数t增加的方向（即上式中），则

反之则它的方向余弦为38(当时取正号，时取负号)当时，39当时，40一般地，平面曲线L上的两类积分之间有如下联系：（可以推广到空间曲线上）41可用向量表示有向曲线元；42例1解4344例2解45问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.46例3解4748问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.49例4.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程50例5设一个质点在处受到力的作用，的大小与到原点的距离成正比，的方向恒指向原点。此质点由点沿椭圆按逆时针方向移动到点，求力所作的功。解：

oF于是((由假设有，其中是比例常数51

利用椭圆的参数方程：起点A、终点B分别对应参数0，于是例6把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，：沿上半圆周从点(0，0)到点(2，0)52解：方法1：取为参变量，起点对应=0，终点=253方法2：起点，终点所以54符号的取法：的方向与参数增加时动点