不完全信息静态博弈

第八章不完全信息静态博弈这一章里我们讨论不完全信息静态博弈，也称为贝叶斯博弈(Bayes).不完全信息博弈中，至少有一个参与者不能确定另一参与者的收益函数。非完全信息静态博的一个常见例子是密封报价拍卖(sealed-bidauction)：每一报价方知道自己对所售商品的估价，但不知道任何其他报价方对商品的估价；各方的报价放在密封的信封里上交，从而参与者的行动可以被看作是同时的。静态贝叶斯博弈问题的主要来源也是现实经济活动，许多静态博弈关系都有不完全信息的特征，研究贝叶斯博弈不仅是完善博弈理论的需要，也是解决实际问题的需要。静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡为了更好的说明不完全信息与完全信息之间的差异，我们用一个典型静态贝叶斯博弈作为例子,自然的引进静态贝叶斯博弈概念。不完全信息古诺模型考虑如下两寡头进行同时决策的产量竞争模型。其中市场反需求函数由P(Q)=〃-Q给出，这里Q=q+q为市场中的总产量.企业1的成本函数为C(q)=cq，不过企业2121111的成本函数以9的概率为C(q)=cq，以1-9的概率为C(q)=cq，这里c<c。22H222L2LH并且信息是不对称的：企业2知道自己的成本函数和企业1的成本函数，企业1知道自己的成本函数，但却只知道企业2边际成本为高的概率是9,边际成本为低的概率是1-9(企业2可能是新进入这一行业的企业,也可能刚刚发明一项新的生产技术)。上述一切都是共同知识：企业1知道企业2享有信息优势,企业2知道企业1知道自己的信息优势，如此等等.现在我们来分析这个静态贝叶斯博弈。一般情况下，企业2的边际成本较高时选择较低的产量，边际成本较低时，选择较高的产量。企业1从自己的角度，会预测到企业2根据其成本情况将选择不同的产量.设企业1的最佳产量选择为q*,企业2边际成本为c时的1HTOC\o"1-5"\h\z最佳产量选择为q*(c)，企业2边际成本为c时的最佳产量选择为q*(c),如果企业2的2HL2L成本较高，它会选择q*(c)满足：2Hmax[(a-q*-q)-c]q2H2类似地，如果企业2的成本较低，%(c)应满足：2Lmax[(a-q*-q)-c]q2L2从而，企业l为了使利润最大化，选择q*应满足：max{9[(a-q-q*(c)-c]q+(1-9)[(a-q-q*(c)-c]q}12H1112L11三个最优化问题的一阶条件为：a-a-q*-cq*(c)=——H,2H2a-q*-cq*(c)=1g2L21q*=—{9[(a-q*(c)-c]+(1-9)[(a-q*(c)-c]}2H12L1三个一阶条件构成的方程组的解为:TOC\o"1-5"\h\za—2c+c1—0*(c)=H1+〃(c—c)2H36HLa—2c+cq*(c)=li2、L3q*a—2c+0c+(1—0)q*HL3把这里的q*、q*(c)和q*(c)与成本分别为c和c的完全信息古诺均衡相比较，假12H2L12定c和c的取值可使得两个企业的均衡产量都为正，在完全信息的条件下，企业的产出为12q*=(a—2c+c)/3。与之不同的，在不完全信息条件下，q*(c)>q*,当c=c，iij2H22Hq*(c)<q*,当c=c。之所以会出现这种情况，是因为企业2不仅根据自己的成本调2L22L整其产出，同时还将考虑到企业l的情况选择最优反应。如果企业2的成本较高，它就会因成本较高而减少产量，但同时又会生产稍多一些，因为它知道企业1将根据期望利润最大化的原则决定产出，从而要低于企业1确知企业2成本较高时的产量。8.1.2静态贝叶斯博弈现在，我们要建立非完全信息同时行动博弈的标准式表述，也称为静态贝叶斯博弈。首先要表示出非完全信息的关键因素，即每一参与者知道他自己的收益函数，但也许不能确知其他参与者的收益函数.令参与者i可能的收益函数表示为u(a，…,a；t)，其中t称为参TOC\o"1-5"\h\zi1nii与者i的类型-ype)，它属于一个可能的类型集(亦称为类型空间(typepace))T，每一类型tii都对应着参与者i不同的收益函数的可能情况。作为具体的例子，考虑前面的的古诺博弈.企业的行动是它们的产量选择q和q。企业122有两种可能的成本函数，从而有两种可能的利润或收益函数：他(如，以；也}=[(0-qi-q外一丸】92叱(打,久；ch)=[(日一的一g之)一叨]<?”企业1只有一种可能的收益函数：我们说企业2的类型空间为了T={c,c}，企业1的类型空间为了T={c}.2LH11在这样定义参与者的类型之后，说参与者i知道自己的收益函数也就等同于说参与者i知道自己的类型，类似地，说参与者i可能不确定其他参与者的收益函数，也就等同于说参与者i不能确定其他参与者的类型,我们用t={t，…,t,t，…,t}表示其他参与者的类—i1i—1i+1n型。并用T表示t所有可能的值的集合，用概率P(tt))表示参与者在知道自己的类型—i—ii—ii是（的前提下，对其他参与者类型t_,的推断，即在自己的类型是（的前提下,对其他参与者类型t出现的条件概率。在完全信息静态博弈的标准式的基础上,增加类型和推断两个概念,-i得到静态贝叶斯博弈的标准式概念。定义9。1一个n人静态贝叶斯博弈的标准式表述包括：参与者的行动空间A，…,A1nTOC\o"1-5"\h\z和它们的类型空间T，…,T他们的推断p，…,p，以及他们的收益函数u，…,u.参与者1n1n1ni的类型作为参与者i的私人信息，决定了参与者i的收益函数u（a，…,a；t）。参与者ii1ni的推断P（tt）描述了i在给定自己的类型t时,对其他n—1个参与者可能的类型t的不i-iii-i确定性。我们用G={A，…,A;T，…T;p，…p;u，…，u}表示这一博弈。n1n1n1n静态贝叶斯博弈的一般表示法，对于由现实问题抽象和建立静态贝叶斯博弈模型，提供了思路和帮助,我们根据静态贝叶斯博弈表达式中的几个方面，来确定模型的主要内容。不过最重要的问题是如何来分析问题，那么用什么样的方法来分析这类博弈呢?8。1.3海萨尼转换信息的不完全使得博弈分析变的复杂，1967年以前，博弈论专家认为这样的不完全信息博弈是无法分析的，因为当一个参与人不知道在与谁博弈时，博弈的规则是无效的。海萨尼（Harsanyi，1967—1968）提出了处理不完全信息博弈的方法，巧妙地引入一个“第三者”--——自然，将复杂问题的不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈，称之为“海萨尼转换”。海萨尼转换的具体方法是：一个虚拟的参与人“自然”，自然首先决定参与人的类型，赋予各参与人的类型向量t=（t,…,t），其中，teT,i=1,…,n；nii（2）自然告知参与者i自己的类型，却不告诉其他参与者的类型；（3）参与者同时选择行动，每一参与者i从可行集A中选择行动方案a；ii（4）各方得到收益u（a，…,a；t）。i1ni借助于第一步和第二步中虚构的参与者“自然”的行动，我们可以把一个不完全信息的博弈表述为一个不完美信息的博弈.海萨尼转换是处理不完全信息博弈的标准方法。8。1.4贝叶斯纳什均衡静态贝叶斯博弈转化的都是两阶段有同时选择的、特殊类型的不完美信息动态博弈，对于这类博弈有专门的分析方法和均衡概念。为了定义贝叶斯纳什均衡概念，首先定义此类博弈中参与者的战略空间。动态博弈中参与者的一个战略是关于行动的一个完整计划,包括了参与者在可能会遇到的每一种情况下将选择的可行行动.在给定的静态贝叶斯博弈的时间顺序中,自然首先行动，赋予每一参与者各自的类型，参与者i的一个(纯)战略必须包括参与者i在每一可行的类型下选择的一个可行行动。定义如下：定义9.2在静态贝叶斯博弈G={A，…，A;T，…T;p，…p;u，…,u}中，参与者1n1n1n1nTOC\o"1-5"\h\zi的一个战略是一个函数s(t),其中对T中的每一类型t，s(t)包含了自然赋予i的类型iiiiii为t时，i将从可行集中A中选择的行动a。iii我们用不完全信息古诺模型来阐述战略定义，从前面分析知道博弈的解由三个产量选择组成：q*、q*(c)和q*(c)。用刚刚给出的关于战略的定义，(q*(c)，q*(c))就是

12H2L2H2L企业2的战略，q*是企业1的战略，很容易想到企业2根据自己的成本情况会选择不同的1产量,但是还应注意到的同样重要的一点，是企业l在选择产量时也应同样考虑企业2将根据不同的成本选择不同的产量。从而，如果我们的均衡概念要求企业l的战略是企业2战略的最优反应，则2的战略必须是一对产量，分别对应于两种可能的成本类型，否则企业1就无法计算它的战略是否确实是企业2战略的最优反应，无法进行博弈分析。给出贝叶斯博弈中关于战略的定义之后,我们就可以定义贝叶斯纳什均衡了。尽管定义中的符号十分复杂,但中心思路却既简单又熟悉：每一参与者的战略必须是其他参与者战略的最优反应，亦即贝叶斯纳什均衡实际上就是在贝叶斯博弈中的纳什均衡.定义9.3在静态贝叶斯博弈G={A，…,A;T，…T;p，…p;u，…,u}中，战略组1n1n1n1n合s*=((}…,s；)是一个纯战略贝叶斯纳什均衡，如果对每一参与者i及对i的类型集丁的每一t，s*(t)满足iiimaxZ{u[(s*(t)，…，s*(t),a,s*(t)•…，s*(t);t]p(tt)}.i11i-1i-1ii+1i+1nnii一iiaeAiit-i定义中求最大值的和是对t求和，即对其他参与人的各种可能的类型组合求和，“纯策-i略”的意义与完全信息博弈相同。当静态贝叶斯博弈中参与人的一个战略组合是贝叶斯纳什均衡时，没有参与者愿意改变自己的战略，即使这种改变只涉及一种类型下的一个行动。贝叶斯纳什均衡是分析静态贝叶斯博弈的核心概念，一个有限的静态贝叶斯博弈(即博弈中n是有限的，并且(A，…,A)和(T，…,T)都是有限集)理论上存在贝叶斯纳什均1n1n衡，包括采用混合战略的情况.8。2应用举例海萨尼(1973)提出这样的一个结论：完全信息静态博弈的混合战略纳什均衡,几乎总是可以解释为与之密切相关、存在少量不完全信息的博弈中的纯战略贝叶斯纳什均衡。混合战略纳什均衡的重要特征，不是参与者以随机地方法选择一个战略，而是参与者不能确定其他参与人的选择,这种不确定性既可产生于随机因素,又可能(更为合理地)因为少量不完全信息，如下面的例子。8.2o1混合策略和不完全信息前面所讲的性别战博弈，存在两个纯战略纳什均衡(歌剧，歌剧)和(拳击，拳击)及一个混合战略纳什均衡，其中妻子以2/3的概率选择歌剧，丈夫以2/3的概率选择拳击。歌剧拳击240,0必o1,2图9—1性别战现在假设尽管两人已经认识了相当一段时间,但不能完全肯定地把握对方的想法。假定如果双方都选择歌剧妻子的收益为2+/,其中/的值是妻子的私人信息，双方都去观看拳WW击时丈夫的收益为2+/,其中/的值为丈夫的私人信息；t和/相互独立，并服从[0,

hhwhx\区间上的均匀分布,()和)的值是指原博弈收益的随机扰动项，我们可以认为％是一个很小的正数).所有其他情况下的收益不变.表述为标准式则为：静态贝叶斯博弈G=｛A,A;T,T;p,p-u｝中，行动空间为A=A=｛歌剧，拳击｝,类型空间为whwhwhwhwhT=T=[0,x],关于类型的推断为对所有的/和/,pQ)=pQ)=l/x,收益情况whwhwhAw如图9—2o图9-2非完全信息性别战我们构建这个性别战博弈的纯战略贝叶斯(Bayes)纳什均衡。其中t超过某临界值ww时妻子选择歌剧，否则选择拳击;丈夫在th超过某临界值h时选择拳击，否则选择歌剧.在这一均衡中，妻子以(%-W)/%的概率选择歌剧，丈夫则以(％-h)/%的概率选择拳击.假设妻子和丈夫都采用上面所给出的战略，对一个给定的％，我们计算相应的w和h，以使双方的战略符合贝叶斯纳什均衡的条件.给定丈夫的战略，妻子选择歌剧和选择拳击的期望收益分别为h%一h八h、(2+1)+,0—(2+1)%w%%w和

hex-h,x一h•0+-1二xxxx从而，当且仅当t>--3=攻，选择歌剧是最优的。同样，假定妻子采用了临界值w战略，wh丈夫选择拳击和选择歌剧的期望收益分别为TOC\o"1-5"\h\zx-www•0+(2+1)=(2+1)xxhxh和x-wwx-w•1+•0二xxx-3=h，选择拳击是最优的。x所以，-3=h，选择拳击是最优的。xo厂3=w解联立方程组《解联立方程组x-3=h、wh2+3h-x=0解二次方程得当x趋于0时，该式的值趋于2/3。也就是说，随着不完全信息的消失，参与者在此不完全信息博弈纯战略贝叶斯纳什均衡下的行动趋于其在原完全信息博弈混合战略纳什均衡下的行动。8.2.2暗标拍卖我们用贝叶斯纳什均衡的思想，来讨论暗标拍卖问题。基本的暗标拍卖规则是各投标人密封标书投标，统一时间开标,标价最高者中标.如果出现标价相同的情况,用抛硬币或类似方法决定中标者。假设有两个投标人，分别为1、2,投标人i对商品的估价为v——即如果i投标人i付出价格p得到商品，则i的收益为v-p。两个投标人的估价相互独立,并服从[0,1]i区间上的均匀分布。投标价格不能为负,且双方同时给出各自的投标价。出价较高的一方得到商品,并支付他报的价格；另一方的收益和支付都为0。投标方是风险中性的,所有以上都是共同信息.为把这一问题化为标准式的静态贝叶斯博弈,我们必须确定行动空间、类型空间、推断及收益函数。参与者i的行动是给出一个非负的投标价b，其类型即他的估价v(在抽象ii博弈G={A,A;T,T;p,p;u,u}中表示为，行动空间A=[0产)，类型空间12121212iT=[0,1])。由于估价是相互独立的，参与者i推断v服从[0,1]区间上的均匀分布，而不ij依赖于v的值。最后，参与者i的收益函数为iu(b,u(b,b;v,v)=<

i1212v一bii(v一b)/2ii0当b>bij当〃=bi当b<bi为推导这一博弈的贝叶斯纳什均衡，我们首先建立参与者的战略空间。在静态贝叶斯博弈中，一个战略是由类型到行动的函数.参与者i的一个战略为函数b(v),据此可以决定i在每ii种类型(即对商品的估价)下选择的投标价格.在贝叶斯纳什均衡下,参与者1的战略b1(v1)与参与者2的战略b(v)互相是对方的最优反应。若战略组合[b(v),b(v)]是贝叶斯纳什221122均衡，那么每个类型vg[0,1]，b(v)满足iii1max[(v一b)P{b>b}+(v一b)P{b=b}]biiij2iiiji我们寻找该问题的一组线性均衡解，即假设b(v)和b(v)都是线性函数。1122b(v)=a+cv及b(v)=a+cv，并据此对上式进行简化.但应注意我们不是限制了1111122222参与者的战略空间,使之只包含了线性战略；而是允许参与者任意地选择战略，而只看是否存在线性的均衡解。我们会发现由于参与者的估价是均匀分布的,这样的线性均衡解不仅存在。而且是惟一的。其结果为b(v)=v/2，也就是说，每一参与者以其对商品估价的iii1/2作为投标价。这样，一个投标价格反映出投标方在拍卖中遇到的最基本的得失权衡：投标价格越高,中标的可能性越大；投标价格越低，一旦中标所得的收益就越大。假设参与者j采取战略b(v)=a+cv，对一个给定的v值,参与者i的最优反应为jjjjji下式的解