新高考数学高频考点专项练习：专题十二 考点33 空间向量及其运算（A卷）

新高考数学高频考点专项练习：专题十二考点33空间向量及其运算（A卷）1.向量，，若，且，则的值为()A.-1 B.1 C.-4 D.42.空间中任意四个点，则()A. B. C. D.3.在空间直角坐标系中，，，，，若A，B，C，D四点共面，则()A. B.C. D.4.在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是()①；②；③；④.A.①② B.②③ C.③④ D.①④5.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是()

A. B. C. D.6.已知正方体的棱长为a，且与相交于点O，则有()

A. B. C. D.7.已知，，，若三个向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为()

A.0 B.5 C.9 D.8.(多选)已知向量，，，下列等式中正确的是()A. B.C. D.9.(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是()

A.B.C.向量与的夹角是60°D.与AC所成角的余弦值为10.空间直角坐标系中与点关于平面对称的点为，则点的坐标为______________.11.化简：_______________.12.已知，.若，则______；若，则________.13.在正三棱柱中，M为的重心，若，，，则_______________.14.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.

（1）求A到平面的距离；

（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.15.在四棱锥中，底面ABCD，，，，.（1）证明：；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

答案以及解析1.答案：C解析：，，解得.由，得，解得，，故选C.2.答案：C解析：利用空间向量运算法则即可得出.3.答案：A解析：，，，因为A，B，C，D四点共面，所以，，共面，即存在唯一的实数对，使得，即消去，得，故选A.4.答案：C解析：，①错；，②错；，③对；，④对.故选C.5.答案：C解析：如图所示，取BC的中点F，则，又E为正三角形BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，所以，则.

6.答案：B解析：对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D错误.

故选B.7.答案：D解析：，，与不共线，又，，三个向量共面，存在唯一的实数对，使，即，故选D.8.答案：BCD解析：易得.，，所以A选项错误；，所以，所以B选项正确；，所以C选项正确；，即，，所以D选项正确.故选BCD.9.答案：AB解析：由题意可知平行六面体的各棱长均相等，设棱长为1，则，所以，而，所以A正确；，所以B正确；向量，显然为等边三角形，故，所以向量与的夹角是120°，即向量与的夹角是120°，所以C不正确；因为，所以，，，所以，所以D不正确.故选AB.10.答案：解析：在空间直角坐标系中，若点的坐标是，设点关于平面对称的点为，那么点的坐标是，因此空间直角坐标系中与点关于平面对称的点的坐标为.11.答案：解析：原式.12.答案：；解析：由，得，解得.由，得，且，解得，，所以.13.答案：解析：如图，连接并延长，交于点D，

在正三棱柱中，M为的重心，，，，.14.答案：（1）（2）解析：（1）设点A到平面的距离为h，

因为直三棱柱的体积为4，

所以，

又的面积为，，

所以，即点A到平面的距离为.

（2）取的中点E，连接AE，则，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，所以，

又平面ABC，

所以，因为，所以平面，

所以.

以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，所以，，

因为的面积为，所以，所以，

所以，，，，，，

则，，

设平面ABD的法向量为，

则即

令，得，

又平面BDC的一个法向量为，

所以，

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的正弦值为.15.答案：（1）证明见解析（2）解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.

又，所以四边形DCBO为平行四边形.

又，

所以四边形DCBO为菱形，所以.

同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，

所以.

因为底面ABCD，底面ABCD，所以，

又，平面ADP，所以平面ADP.

因为平面ADP，所以.（2）由（1）知，又，所以，

所以三角形ADO为正三角形.

过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线