MATLAB模拟麦克斯韦速率分布函数

MATLAB模拟麦克斯韦速率分布函数摘要：为了学生更好掌握麦克斯韦速率分布函数，把速率分布函数和大学物理成绩进行对比。用MATLAB绘图软件分析了分布函数受温度和分子质量的影响。研究最概然速率，及各速率区间的分子数占总分子数的百分比。运用MATLAB的计算功能，给出了三个特征速率。使麦克斯韦速率函数变得简单直观，便于学生的学习和运用，为教学提供了很大的帮助。关键词：麦克斯韦速率分布函数；MATLAB；二氧化碳气体MATLABSimulationofMaxwell'sRateDistributionFunctionAbstract:ForstudentstobettergrasptheMaxwellratedistributionfunction，comparetheratedistributionfunctionwiththeuniversityphysicalscore.TheinfluenceoftemperatureandmolecularmassonthedistributionfunctionwasanalyzedbyMATLABsoftware.Researchthemostprobablespeed、andthepercentageofmoleculesineachraterangetothetotalnumberofmolecules.UsingthecomputationalfunctionofMATLAB,threecharacteristicratesaregiven.SothattheMaxwellratefunctionbecomessimpleandintuitive,easyforstudentstolearnanduse,toprovideagreathelptoteaching.Keywords:Maxwellvelocitydistributionfunction;MATLAB;Carbondioxidegas引言：气体分子在某一时刻的速率分布具有偶然性，随机性，但对大量的分子来说，速率的分布遵循一定的规律，遵守数学上的统计规律。麦克斯韦利用数学上的概率论研究了在平衡态下，理想气体分子的速率分布是满足一些规律的，这就是麦克斯韦速率分布定律[1]。本文结合MATLAB软件的绘图和计算功能对麦克斯韦速率分函数进行了分析讨论[2],使复杂的物理知识变得简单直观，易于学生理解和掌握。.类比分析麦克斯韦速率分布函数研究气体分子速率的分布和研究一般问题的分布规律相似。为了便于学生对分布函数的理解，以学生的大学物理考试成绩为例。成绩的范围为0〜100分，需要把成绩分成若干个相等的分数段，例如：0〜10分为一个分数段，10〜20为一个分数段，......90~100为一个分数段，一共分了10个分数段。考试的人数设为N=loo人，设分布在各分数段的人数为「,，为每一分数段的人数占总人数的百分比。从每一分数段分布人数的百分比可以看出，在哪一个分数段分布的人数最多，哪一个分数段分布的人数最少，分析讨论学生的考试成绩是否满足正态分布，对以后教学方式方法的改进和内容的调整有很大的帮助。对成绩的分iN布可以进行再深入的分析研究，可以计算出来 ，单位分数区间分布的人数占总人数的百分比。把学生的成绩换成分子的速率，学生的人数换成分子的总数，来研究大量分子速率的分布规律，就容易理解了。速率区间忤以上等多个速率区间。所划分的速率区间等宽为"iN、/_D_DdSSD_DdZdS 。速率区间越小，分布规律描述的越精确，因此，可以进一步算出在iN/_D_DdS。为了更准确的描述分布情况，我们可以/_D_DddN京，定义速率分布函数，它的物理意义：表示的是在于()/_D_Dd-d，表示的是在,年.影响麦克斯韦速率分布曲线的因素温度与分布曲线的关系以CO二气体分子为例，它的摩尔质量为〖〗人()D_()D_D_Dd-F口〖〗人()D_()D_D_Dd-F口图1二氧化碳气体的麦氏速率分布函数1000v(rri/s)T-400K从图1中可以观察到，分布函数呈现的是中间大两边小的特点，二氧化碳气体在温度升高的时候，分布曲线的最高点(即峰值)向右移动，反之向左移动。当温度T= 时，分布在速率较低范围内的分子比较多，大部分分子的速率小于1，0"工，分布曲线是又窄又高，如图中蓝色曲线所示。当温度T=9Ookjj，分布曲线下的面积表示的是从零到无穷大的整个区间范围内的分子数占总分子数的百分比，整个区间的百分比为百分之百［5］,也就是1。温度低的时候，曲线变得又窄又细，温度升高时，曲线变得又矮又胖，保证曲线下面的总面积不变，始终是归一化的。用概率表来述分布函数，我们研究标记一个分子的速率，一共测量了〉()/_D_Dd-d_为概率密度，表示的是某一分子在速率十()/_D_Dd表示的是¥~¥+dv质量与分布曲线的关系下面研究在同一温度T=4ooK时， 三种气体分子的速率分布函数，如图2所示：图2同一温度下不同气体的速率分布由数不同气体在同一温度下速率的分布函数不同［6］，图中的三条曲线分别给出三种气体在同一温度下，速率的分布情况，对于一摩尔气体，二氧化碳气体的摩尔质量最大，氮气的摩尔质量最小，随着摩尔质量的减小，分布函数右移。.最概然速率及分子速率区间分布的特征最概然速率“气体速率分布曲线有个极大值， _D_Dd—为，为最概然速率，即曲线峰值所对应的位置。如图3所示：从图1和图2可以看出，最概速率”与温度和气体的摩尔质量有关。同一种气体，在不同温度下分布的情况不同，随着温度的升高，气体分子的速率增大，最概然速率V二向右移动，分布函数曲线f（「）变的平坦一些。在同一温度下，因气体的不同而分布状态也不一样，分子质量越大的气体，最概然速率V：越小，f（「）峰值越高，曲线越陡，随着分子质量的减小，V；.变大，曲线右移，曲线变得比较平坦。无论是由于温度还是分子质量引起曲线的变化，但归一化条件要求曲线下总的面积不变。最概然速率区间及其它区间内分子分布的规律取相同的速率区间，”那个速率区间的分子数占总分子数的百分比最大，在V；.速率附近分布的分子数最多。不同速率区间的分子数占总分子数的百分比不同，最概然速率S07的分子数占总分子数的百分比最大，以二氧化碳气体为例，计算，速率区间三"弥口屋73883】s的分子数占总分子数的百分比如图4所示：1500图4最概然速率区间的分子数占总分子数的百分比1500图4最概然速率区间的分子数占总分子数的百分比0 1004500 700 IlflOQ与IC'D"L-200川s速率区间和s-800]115速率区间进行比较，发现分布在最概然速率区间的分子数占总分子数的百分比最大，分布的分子个数最多，分子速率较小的区域和分子速率较大的区域在相同的区间内分布的分子数占总分子数的百分比较小。计算 的分子数占总分子数的百分比用麦克斯韦速率分布函数小分子数占总分子数的百分比，用MATLAB软件可以画出百分比的范围[7]范围[7],__D_DddSS.图中黄色区域的面积就是速率〃_（_）人（）_D。从图中可以观察到速率大于最然速率七的分子数占多一半，速率较大的分子数分布的较多。同时可以计算出速度/_（」■（hMMf（v）dv。.用MATLAB计算软件求三个特征速率用MATLAB研究1=皿0区__D_DdDL8S.方均根速率v=438.—v八平均速率__D_DdDL8S.方均根速率v=438.—v八平均速率,■= 24mVV2=476.——_（）v4pGvr,V（（vT2r）«Vt,,■= 24mVV2=476.——较三种速率的大小有作;丽《庐=1：1-128：1,225_Vp<V<际，其中最概然速率上决定了曲线的形状，表示了分子按速率分布的特点，在最概然速率附近，分布的分子数最多。平均速率中用来计算平均自由程和平均碰撞频率。方均根速率;不用来计算平均平动动能，用来推导压强公式。.小名吉本文研究了麦克斯韦速率分布函数的规律，以及分布函数与温度和气体分子质量的关系。用MATLAB强大的绘图功能分析了在不同速率范围内分布的气体分子和总分子数的百分比，同时用MATLAB编程计算出来三个特征速率，研究了三个速率的物理意义。参考文献[1]程守洙，江之永.普通物理学(第1册)[乂].北京：高等教育出版社，1982.255—259.[2]钞曦旭，杨万民，唐纯青.MATLAB及其在大学物理课程中的应用[M],陕西：陕西师范大学出版社，2006(1):183—186.[3]赵近芳，王登龙.大学物理(上)[M],北京：北京邮电大学出版社，2014(4):199—204.[4]梁绍荣，刘昌年.普通物理学(热学)