第一章自变量趋向无穷大时函数极限

第三 函数的极 第 自变量趋向无穷大时函数的极函 自变量趋向有限值时函数的极数极限 函数极限的性-1第三 函数的极—自变量趋向无穷大时函数的观察函数sin—自变量趋向无穷大时函数的 11 续-2第三 函数的极问题:函数yfx)x的过程中对应函数值fx无限趋近于确定值A.第 通过上面演示实验的观察:章 当x无限增大时 f(x)sinx无限接近于 限 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”限连 f(x)A表示f(x)A任意小x 表示x的过程-3

第三 函数的极设函数fx)在区间(a)有定义,为定常数,如果对任意给定的正 ~章第X(a),使当xX时,~章|f(x)A|函数则称A为函数f(x)在 极限记作limf(x) 或f(x) (x ""X"定义limf(x)A0,X0,使当xX时,恒有fxA-4第三 函数的极x ~章函A数A 限Ao

f(

XX -5第三 函数的极例 证明limex 由于|ex0|ex,要使|ex0|,第0ex,不妨设1,由于0ex ~章xlnXln数 0(不妨设1),取Xln,当x数极时,限 |e续

0|exeXelnlimex-6第三 函数的极例 证明

x2 2x 2证 X第~

,当x |

11

2 函数

x2

X极

x2 x 同理可给出x,x时函数的极限的定

设函数fx)(,b)有定义, -7第三 函数的极总存在正数X(bxX时,|f(x)A|则称A为函数f(x)在 ~第记作limf(x) 或f(x) (x~ 函数为定常数极

设函数f(x)在区间|x|a有定义 限X(a),使当|x|X时,续 |f(x)A|续则称A为函数f(x)在x 记作limf(x)A f(x)A (x).x-8第三 函数的极 证明limsinxsinx sinx~章

x sinx0sinx

1 x 0,sinsinx

X1

则当

X时恒有 限连续故limsinx

1|x x -9第三 函数的极 证明limarctanx 0(不妨设第当xX时 ~

),取X |arctanx()|arctanxarctan(X arctanX()限 限连 limarctanx

limarctanx

-10第三 函数的极定理 函数f(x)在x时以A为极限的

f(

当xx

第都等于~ 例

说明limarctanx不存在x数 数限 limarctanx限 连 limarctanx x所以limarctanx不存在x-11第三 函数的极二、自变量趋向有限值时函问题:函数yfx)在xx0的过程中,对应函数fx)A~章 f(x)A表示f(x)A任意;数; 0限

x

表示x

x0的过程x0

x0 点x0的去心邻域 体现x接近x0程度-12

第三 函数的极 设函数f(x)在x0某个去心领域内有定义A为常数,如果对于任意给定的正数(不论它多么第0小),总存在正数,使得对适合不等式0x 0章函x,对应的函数值fx极 f(x)A极连限那末常数Afx在xx0时的极限,连 limf(x)A f(x)A(当xx0x""0,0""恒有fxA-13

x

时第三 函数的极注意：1.函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关与任意给定的正数有关第几何解释: 当x在x0的去心数 域时,函数yf( 图形完全落在以续 线yA为中心线续宽为2的带形区域内

AAAAAo

yf( 显然找到一个后,越小越好-14第三 函数的极 证明limCC,(C为常数x 任取 0

x

时 f(x)函

C

0成立

limCCx 证明limxx0. x 证∵f(x)Axx0 取连0

x

时f(x)A

x

成立limxx0x

-15第三 函数的极 证明

x2

x 函数在点x1处没有定义 0,取章0x1时 恒数 x2数2 x限

x

x2 x x-16

第三 函数的极limsinxsinx0x取,当0|xx0|

|sinxsin

|2|

x

||cosxx0章数函数

|xx0|极限

limsinxsinx0x续 limcosxcosx续x limexex0xlimlnxln (x0x-17第三 函数的极

证明:当x00时, xxx 章

0,取min{x0 x0},0x0x0xx0x0x

x

时 xx xx 极x x x续

-18第三 函数的极

y22 f(x)

2 x2x x章

x

y 当x0且x0时f(x)数 当x0且x0时，f(x)限连 x从左侧无限趋近x0,记作x

0或xx x从右侧无限趋近x0记作xx0或xx -19第三 函数的极定义4设函数fx)在区间x0,b有定义,A为常数,如果对于任意给定的正数(不论它多么小总存第在正数(bx0使得对适合不等式0xx0~章x,对应的函数值fx数 f(x)A数极那末常数Afx在xx0时的右极限限连 f(x)A f(x)A(xx0xx0或fx00-20第三 函数的极定义5设函数fx)在区间(ax0有定义,A为常数,如果对于任意给定的正数(不论它多么小总存第在正数(x0a使得对适合不等式0x0x~章x,fx数 f(x)A数0极那末常数Afx在xx时的左极限0限连 f(x)A f(x)A(xx0xx0或fx00-21第三 函数的极{x0xx0{x0xx0}{xxx0~ 定理 函数f(x)在xx0时以A为极限当且~章当在x 函0 f(0极

0)f(

0)限 证

验证limx

不存在xxx

limxlimx

左右极限存在但不相等,limfx)不存在-22第三 函数的极x2 x例

设fxx

x2确定常数alimfx)存在第章 x2是分段函数f(x)的分段点,所章函limf(x)Af(20)f(20)函 极 limf(x)lim(x21) x2 limf(x)lim(xa)2x2 x2所以52a,即a-23第三 函数的极limf(n)n第 limf(x) x limf(x)

limf(x)xlimf(x)

limf(x)xlimf(x) x xx

xx0 limf(x)A0,在自变量的变化过程中0限 |f(x)A|-24第三 函数的极 n nxxx Nnxxxf(f(x)A xxx0xx0 0xx00xx0xx0f(f(x)A-25第三 函数的极

f(

当x

x或x)A 的充要条件是:对于任意一个收敛于x0的数列xn 第章 xn(或)x0(n1,2,"), 其对应的数列f(xn),章 limf(xn)数n数 极

设 f(x)x

限0,0使当0连

x

时,

f(x)

∵limxn

且xnx0对上述0,N0nN时,恒有0故limfxnx

xn

.-26

f(xn)

函数的极例13证明limsin 不存在 第ysinx n章 ysinx n章 函 limxn n

且xn 取

4n

,lim

且x

-27第三 函数的极三、函数极限的定理4(唯一性 若limf(x)存在,则极限唯一 以x为例.若limf(x)a,limf(x) 章且ab,不妨设ba,则对ba 存在X, 函当 x当 限连

时恒有|fxa|,3abf(x)b 续当xX2时恒有|fxb|,abf(x)3b -28第三 函数的极取Xmax{X1,X2 当xX时,恒abf(x)ab2 表明a章 章

fx)有极限函则存在一个时刻

fx)有界 以xx0为例证明.设limf(x)A,则对 x限存在0,则当0|xx0|连

时,恒有|fxA|续 A1f(x)A取M|A|1,则当0|xx0|时,恒有|fx|M所以当0|xx0|时,fx)有界-29第三