九年级(（下册）)三角函数教学案

..课题：§7.1正切一、教学目标：1．理解并掌握正切的定义,会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；2.了解计算一个锐角的正切值的方法.二、自主学习：1．下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？2．思考与探索：除了用∠A的大小来描述倾斜程度,我们还可以〔1可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比,来说明台阶的倾斜程度.〔2可通过测量B1C1与A1C1的长度,再算出它们的比,来说明台阶的倾斜程度.总结：一般地,如果锐角A的大小确定,我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三形〔如图,那么图中：成立吗？为什么？结论：.3．正切的定义：.三、释疑解难：思考：当∠A越来越大时,∠A的正切值如何变化？四、例题讲解：1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值.通过上述计算,你有什么发现？2．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AC=3,AB=5,求∠ACD、∠BCD的正切值．变式：如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD是斜边AB上的高.①tanA＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；②tanB＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；③tan∠ACD＝＿＿＿＿；④tan∠BCD＝＿＿＿＿；五：当堂检测：A级〔100分1．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝EQ\r<,5>,求tanA与tanB的值．2．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝12,tanA＝EQ\f<4,3>,求AB的值．3．如图,在4×4的正方形网格中,tanα=__________.4．在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A<－4,1>,B<－1,3>,C<－4,3>,则tanB=___________.〔先画图再填空5．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,tanA=2,求AB的值.B级〔20分6．等腰三角形ABC的腰长AB,AC为5,底边长为6,求tanC.课题：§7.2正弦、余弦<1>一、教学目标：1．理解并掌握正弦、余弦的含义,会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值；2.能用函数的观点理解正弦、余弦和正切.二、自主学习：问题1：如图,小明沿着某斜坡向上行走了13m后,他的相对位置升高了5m,如果他沿着该斜坡行走了20m,那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？问题2：在上述问题中,他在水平方向又分别前进了多远？思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________．〔根据是______________________．正弦的定义：如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______,记作________,即：sinA＝________=________.余弦的定义：如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______,记作=_________,即：cosA=______=_____.〔你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？试试看.根据如图中条件,分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值.三、释疑解难：从sin15°,sin30°,sin75°的值,你们得到什么结论？____________________________________________________________.从cos15°,cos30°,cos75°的值,你们得到什么结论？____________________________________________________________.问题4：锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________归纳与小结：sinA＝eq\f<,>；cosA＝eq\f<,>；tanA＝eq\f<,>．2．锐角A的正弦,余弦和正切都是∠A的_________________．3．当锐角α越来越大时,α的正弦值越来___________,α的余弦值越来___________.四、例题讲解：BCA231.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠ABCA23BACBAC512B22C3AC3A变式：如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边,△ABC最小的角为A,求sinA的值.五：当堂检测：A级〔100分1．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12,BC＝5,则sinA＝_____,cosA＝_____,sinB＝_____,cosB＝_____.2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝1,BC＝eq\r<,3>,则sinA＝__,cosB=____,cosA=_______,sinB=____.3.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝9a,AC＝12a,AB＝15a,tanB=____,cosB=____,sinB=_______.4．已知：如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为DsinA＝eq\f<<>,AC>＝eq\f<BC,<>>；sinB＝eq\f<CD,<>>＝eq\f<<>,AB>cos∠ACD＝eq\f<CD,<>>；cos∠BCD＝eq\f<<>,BC>tanA＝eq\f<CD,<>>＝eq\f<<>,AC>；tanB＝eq\f<<>,BD>＝eq\f<AC,<>>5．如图,已知Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠B=40°,则直角边BC的长是〔A．m·sin40° B．m·cos40° C．m·tan40° D．eq\f<m,tan40°>B级〔20分6．在△ABC中,∠C=90°,如果sinA＝eq\f<2,3>,求sinB,tanB的值．课题：§7.2正弦、余弦<2>一、教学目标：1．能够根据直角三角形的边角关系进行计算；2.能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角.二、自主学习：1．在Rt△ABC中,∠C＝90°,分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____,cosA=_____,tanA＝_____．∠B的三角函数关系式_________________________．2．比较上述中,sinA与cosB,cosA与sinB,tanA与tanB的表达式,你有什么发现？第第①题第②题第④题第⑥题3．基础训练①如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____．②如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____．③在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=2BC,则sinC=_____．④如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=eq\f<3,5>,则BC=_____．⑤在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=eq\f<4,5>,则AC=_____．⑥如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=15,sinC=eq\f<3,5>,则AB=_____．⑦在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=eq\f<2,3>,AC=12,则AB=_____,BC=_____．三、释疑解难：四、例题讲解：例1．小明正在放风筝,风筝线与水平线成35°角时,小明的手离地面1m,若把放出的风筝线看成一条线段,长95m,求风筝此时的高度．〔精确到1m〔参考数据：sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002例2．工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶〔如图,已知木板长为4m,车厢到地面的距离为1.4m．〔1你能求出木板与地面的夹角吗？〔2请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离．〔精确到0.1m〔参考数据：sin20.5°≈0.3500,cos20.5°≈0.9397,tan20.5°≈0.3739五：当堂检测：A级〔100分1．在Rt△ABC中,∠C=90º,且锐角∠A满足sinA=cosA,则∠A的度数是____.2.比较大小：<用＞,＜或＝表示>①sin40°cos40°②sin80°cos30°③sin45°cos45°.3.在Rt△ABC中,∠B=90º,AC=15,sinC=eq\f<3,5>,则BC=_______________.第5题4.已知α为锐角：第5题〔1sinα=eq\f<1,2>,则cosα=______,tanα=______.〔2cosα=eq\f<1,2>,则sinα=______,tanα=______.〔3tanα=eq\f<1,2>,则sinα=______,cosα=______.5.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cosα=eq\f<4,5>,AB=4,则AD的长为________.B级〔20分6.如图,AB表示地面上某一斜坡的坡面,BC表示斜面上点B相对于水平地面AC的垂直高度,∠A=14º,AB=240m.求点B相对于水平地面的高度<精确到1m>.〔友情提示：sin14º=0.24,cos14º=0.97,tan14º=0.25课题：§7.3特殊角的三角函数一、教学目标：1．能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值,进一步体会三角函数的意义；2.会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值；3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.二、自主学习：[温故知新]1．在Rt△ABC中,∠C＝90°,分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____,cosA=_____,tanA＝_____．图1图22．如图1,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°,若BC＝a,请你在图上分别写出三边长度．图1图2如图2,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝45°,若BC＝a,请你在图上分别写出三边长度．3．根据以上探索完成下列表格：三、释疑解难：四、例题讲解：例1．求下列各式的值．〔12sin30°－cos45°〔2sin60°·cos60°〔3sin230°＋cos230°练习：计算.〔1cos45°－sin30°〔2sin260°＋cos260°〔3tan45°－sin30°·cos60°〔4eq\f<cos245°,tan230°>2．求下列各式的值〔1>tan45°－sin30°·cos60°〔23．在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则BC∶AC∶AB等于〔A．1∶2∶5B.1∶∶C.1∶∶2D.1∶2∶4．已知α为锐角,当无意义时,求tan<α+15°>-tan<α-15°>的值.ABCD5．已知：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥ABCD△ABC、△ACD、△BCD中各锐角.五：当堂检测：A级<100分>1.计算下列各式的值.<1>2sin30°＋3cos60°－4tan45°<2>cos30°sin45°＋sin30°cos45°<3>eq\f<sin60°－1,tan60°－2tan45°><4>eq\r<,3>cos30°＋eq\r<,2>sin45°<5>eq\f<tan45°－cos60°,sin60°>·tan30°<6>2cos45°＋eq\b\bc\|<\a<,eq\r<,2>－eq\r<,3>>>B级〔20分5.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,求：〔1cosA〔2当AB＝4时,求BC的长.课题：7.4由三角函数值求锐角一、教学目标：1会根据锐角的三角函数值。2能够解决含三角函数值计算的实际问题二、自主学习：1.问题：如图,小明沿斜坡AB行走了10cm。他的相对位置升高了5cm,你能知道这个斜坡的倾斜角A的大小吗？根据已知条件,有：sinA=可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。得∠A=自学例题：1．求满足下列条件的锐角A〔1〔2〔32．如图,已知秋千吊绳的长度2m,求秋千升高1m时,秋千吊绳与竖直方向所成的角度三、释疑解难：四、例题讲解：例1．根据下列条件求锐角θ的大小：<1>sinθ＝；<2>cosθ＝；<3>tanθ=；例2．求满足下列条件的锐角α．〔1cosα＝eq\f<eq\r<,3>,2>〔22sinα＝1〔32sinα－eq\r<,2>＝0〔4eq\r<,3>tanα－1＝0练习：1.若sinα＝eq\f<1,2>,则锐角α＝_________；若sinα＝eq\f<eq\r<,3>,2>,则锐角α＝_________.2.若∠A是锐角,且tanA＝eq\f<eq\r<,3>,3>,则cosA＝_________.例3.在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA＝eq\f<1,2>,tanB＝eq\r<3>,AB＝10,求△ABC面积.变式：如图,△ABC中,cosB＝eq\f<eq\r<,2>,2>,sinC＝eq\f<3,5>,AC＝5,则△ABC的面积是_________.五：当堂检测：A级〔100分1.若sinα＝eq\f<eq\r<,2>,2>,则锐角α＝________；若2cosα＝1,则锐角α=_________.2.在△ABC中,若eq\b\bc\|<\a<,cosA－eq\f<1,2>>>＋eq\r<tanB－1>＝0,则sinB＝,∠C＝.在△ABC中,∠A、∠B为锐角,且有eq\b\bc\|<\a<,tanB－eq\r<,3>>>＋<2sinA－eq\r<,3>>2＝0,则△ABC的形状是_________.3.在△ABC中,∠C＝90°〔1若∠A＝30°,则a:b:c=；〔2若∠A＝45°,则a:b:c=.4.求满足下列条件的锐角α:⑴cosα－eq\f<eq\r<,3>,2>＝0⑵－eq\r<,3>tanα＋eq\r<,3>＝0⑶eq\r<,2>cosα－2＝0⑷tan<α＋10°>＝eq\r<,3>⑸cos<α－25°>＝eq\f<eq\r<2>,2>⑹taneq\s<2>α－2eq\r<3>tanα＋3＝0课题：7.5解直角三角形一、教学目标：1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；2.渗透数形结合的数学思想；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.二、自主学习：1、如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,其余5个元素之间有以下关系：〔1三边之间关系：〔勾股定理；〔2锐角之间的关系：；〔3边角之间的关系：；；.〔以∠A为例2、由直角三角形中的,求出的过程,叫做解直角三角形.三、释疑解难：四、例题讲解：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5.解这个直角三角形.2．在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=.解这个直角三角形.练习：在Rt△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．请根据下列条件解直角三角形．〔1a＝10,∠A＝45°；〔2a＝5,b＝5eq\r<3>；3、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=,解Rt△ABC。4、已知：如图,⊙O的半径为10,求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长.当堂检测：A级〔100分1、在Rt△ABC中,∠C=90°,当已知∠A和a时,求c,应选择的关系式是〔A．c=B．c=C．c=a·tanAD．c=a·cosA2、在Rt△ABC中∠C=90°,c=8,∠B=30°,则∠A=______,a=______,b=______.3、在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形：〔1b=,c=4；〔2∠A=60°,a+b=4、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=15,求△ABC的周长和tanA的值.B级〔20分5.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,AD=14,CD=12,S△ADC=,求BD的长。课题：§7.6锐角三角函数的简单应用<1>一、教学目标：1．能把实际问题抽象为几何问题,借助直角三角形、锐角三角函数把已知量与未知量联系在一起解决实际问题。2．构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。二、自主学习：问题引入：单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB’的位置时,∠BAB’=11°,问这时摆球B’较最低点B升高了多少<精确到1cm>?三、释疑解难：四、例题讲解：例1、国庆节,小明和同学一起到游乐场游玩,游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min．小明乘坐最底部的车厢〔离地面约0.5m开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少〔精确到0.1m？分析：如图,小明开始在车厢点B,经过2min后到了点C,点C离地面的高度就是小明离地面的高度,其实就是DA的长度DA=AE-解：问题延伸：1、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面10m以上的空中？例2：机器人"海宝"在某圆形区域表演"按指令行走",如图5所示,"海宝"从圆心O出发,先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上.〔1求弦BC的长；〔2求圆O的半径长.〔本题参考数据：sin67.4°=EQ\F<12,13>,cos67.4°=EQ\F<5,13>,tan67.4°=EQ\F<12,5>当堂检测：A级〔100分1、如图1所示的半圆中,是直径,且,,则的值是．CBCBDA图12、如图,已知⊙O的半径为5cm,弦AB的长为8cm,P是AB延长线上一点,BP=2cm,则tan∠OPA等于〔A．B．C．2D．A20米300450BC3、涟水县在"旧城改造"中计划在县内一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境。已知∠B=300,∠C=450,AB=20米,且知道这种草皮每平方米售价a元,请你算一算购买这种草皮共需要多少钱？B级〔20分4、某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,CD⊥AD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长〔精确到1m,≈1.732课题：§7.6锐角三角函数的简单应用<2>一、教学目标：1．进一步掌握解直角三角形的方法,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.二、自主学习：仰角、俯角的定义：如右图,从下往上看,视线与水平线的夹角叫仰角,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠1就是仰角,∠2就是俯角．问题引入：如图,小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m,测角仪的高度CD为1.5m,测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。〔参考数据：sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65三、释疑解难：四、例题讲解：例1：为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点观测气球,测得仰角为30°,然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m,小明如何计算气球的高度呢〔精确到0.01m例2．如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长．〔参考数据：eq\r<,3>=1.73例3：甲楼看乙楼问题．:如图,线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高,AB⊥BC,DC⊥BC,从B点测得D点的仰角α为60°从A点测得D点的仰角β为30°,已知甲建筑物高AB＝36米．〔1求乙建筑物的高DC；〔2求甲、乙两建筑物之间的距离BC〔结果保留根号．变式：如图,AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房,在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°,楼底D的俯角为30°．求楼CD的高．当堂检测A级〔100分1．如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为60°和45°,则广告牌的高度BC为_____________米<结果保留根号>．AABCD6米60°45°2、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m,则电梯楼的高BC为米〔精确到0.1.B级〔20分3、如图,飞机在距地面9km高空上飞行,先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°,飞行一段距离后,在B处测得该小岛的俯角为60°.求飞机的飞行距离。课题：§7.6锐角三角函数的简单应用<3>一、教学目标：1．进一步掌握解直角三角形的方法,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与方位角有关的实际问题,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.方向角∠方向角∠1：北偏东3