五年级奥数-等积变形

授课日期授课主题积变形教学内容分析与解分析与解i.检测定位两个平面图形面积相等，称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积.其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心，都要运用到“等（同）底、等（同）高的两个三角形面积相等”这个基本规则，并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧.【例1】如图5-1，ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形.已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD的面积.因为三角形ADC和三角形ADB同底等高,所以SAADC=Saa。2,又三角形AOD是公共部分,可知S=S^AOB ACOD

=3（平方厘米）.在三角形BOC与三角形DOC中，BO、OD边上的高相等，6是3的2倍,可知BO=2OD，得S =2S ，AAOB AAOD这样S =3+2=1.5（平方厘米）.因此，S =6+3+3+3+（6+3）=13.5（平方厘米）.AAOD 梯形ABCD随堂练习1如图5-2,三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是线段OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米?【例2】如图5-3，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到£，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE的面积是三角形ABC面积的多少倍?AA分析与解如图5-4，连结BE，因为CE=2AC，所以S =2SABCE，即S =3S .又因为AB=BD，则AABC AABE AABCS=S，AABE ABDE

S =6SAADE AABC.倍..倍.随堂练习2如图5-5,AE=3AB,BD=2BC,ADBE面积是AABC面积的【例3】如图5-6,已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，阴影部分的面积是多少平分析与解如图5-7，连结EC.EC为平行四边形DEFC的对角线.平行四边形DEFC的面积是+2.平行四边形DEFC56+2=28（平方厘米），由平行四边形的性质有S =+2.平行四边形DEFC在AAED在AAED与ACED中，ED为公共底，DE平行于AC,则ED边上的高相等，因此S=SAAED ADECS=S=S+2=56+2+2=14（平方厘米）.AAED ADECDEFC随堂练习3如图5-8，AABC的面积等于24平方厘米，M为AB中点

E为AM上任意一点，MD与EC平行.求AEBD的面积.【例4】如图5-9所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米.分析与解三角形AOD与三角形BOC的面积之和为矩形ABCD面积的一半，先求出三角形AOM和三角形NOB的面积之和，由三角形ABP的面积减去三角形AOB的面积，再减去三角形AOM和三角形NOB的面积和，就可求出四边形PMON的面积了.S+S=24+2—7.8=4.2（平方厘米）.AAOM ANOBS =24・2—4.2—24+4=1.8（平方厘米）.四边形PMON说明本题说求的阴影部分面积看似无从下手，实质上只要我们理清楚解题的思路分步考虑，脚踏实地地去做，求出本题的答案是不难的.随堂练习4如图5-10，平行四边形ABCD中BF=2DF，E是BC的中点.S =8平方厘米，求平行四边形ABCD的面积.ABEF图5-10【例5】如图5-11,梯形ABCD的面积是45平方厘米，高是6厘米，AD//BC.m角形AED的面积是5平方厘米，BC=10厘米，求三角形BCE的面积.分析与解由已知量，可先求出上底AD，进而求出三角形ABD（或ACD）面积及三角形ABE面积，利用等积变换可知三角形ABE与三角形CDE等积.最后得到三角形BCE的面积.由梯形的面积公式得 45=1x（AD+10）x6，解得AD=5厘米，进而S =1x6x5=15（平方厘米）.AABD2由等积变形知S=S，从而s=S =15-5=10（平方厘米）.AABD AACD AABE ACDE所以s =45—5-10x2=20（平方厘米）.ABCE1_____【例6】如图5-12，已知长方形宽是长的不，S =14平方厘米，AC=-AD，DE=E/.求阴影部分的面积.AABC 3分析与解连结BD，因为AC=1AD，所以，S=3xS =3x14=42（平方厘米），3 AABD AABC从而S =2x42=84（平方厘米）.长方形ABFD又因为DE=EF，所以S=1S=1x84=21（平方厘米），ABFE4长方形ABFD4从而S=S-S-S=84-14-21=49（平方厘米）.阴影面积 长方形ABFD AABC ABFE随堂练习5如图5-13,梯形ABCD中，AD//BC，对角线交于O，三角形AOD面积为20，三角形ABO面积为30.求梯形ABCD的面积.（单位：平方厘米）读一读不要轻易放弃题目 平面上有7个点，任意三点不在同一直线上.以上这7个点作为定点作三角形，使任意两个三角形至多只有一个公共顶点.问最多可以作出多少个满足上述条件的三角形？我在纸上画了很多草图，费尽心思，想得到合乎要求的7个三角形，但没有结果.只好向单博请教，他很快就给出了解答，非常精彩.在他的解答中有一句话使我心头一震：”在构造这7个三角形时，每一个点恰好用了3次”.事后，我又回顾了自己的思路，有两张草图印象很深.第一张是开始时的草图(图1),这是第一个念头，只能作出3个符合要求的三角形.于是想在此图基础上连线增加符合要求的三角形，虽然有所改进，但毫无章法，很快就放弃了.为了改进作图，我先将7个点放在圆上，可保证无3个点共线，两两连线，得到以给定7个点为顶点的所有三角形(图2),我知道要求的7个三角形必在其中.但要把他们找出来，并加以说明又很困难.然而当单老师的信息“每个点恰用3次”出现时，我的第1个年头立刻浮现在眼前，图中的“1”不正好直观地被用了3次吗？如果对1进行轮换，用2、3、4、5、6、7替换1,就可产生3x7=21个符合要求的三角形，而因为每个点恰好用了3次，因此，合乎题目要求的三角形正好是7个，这7个三角形的3个顶点分别为(1,2,3),(3,4,5),(5,6,1),(1,7,4),(3,7,6),(5,7,2),(2,4,6).上面的想法几乎在一瞬间完成，再去复查2,7个三角形很容易找出来了.单老师在谈解题思路是常说，做不出来不要紧，很多想法虽然没有解决全部问题，但其中或解决了部分问题，或隐含着解决问题的合理成分.关键是要会总结，碰了钉子不要紧，不一定全部放弃你原来的想法.Iii.针对培养1.如图，AABC中，D、E分别为各边重点.若阴影部分面积为1,则AABC的面积为

.如图，梯形的下底长为10厘米，高为6厘米，阴影部分的面积是 平方厘米..如图，平行四边形中，A、M、N分别为对应线段的中点，且阴影部分面积为15平方厘米，则大平行四边形的面积是 平方厘米..如图，将AABC的AB边延长1倍，将BC边延长2倍，得AA0E，则AADE的面积是AABC面积的倍..如图，BC=3BE,AC=4CD,则AABC的面积是ADEA面积的倍..如图，求平行四边形中阴影部分面积.（单位：厘米）.如图，AABC中，AD=2，BD=3.四边形DBEF的面积等于AABE的面积.若AABC的面积等于10，则四边形.如图，AABC