函数及其表示 课件

第一节函数及其表示三年9考高考指数:★★★1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单的应用.

1.函数的概念、定义域及其表示(特别是分段函数)是近几年高考命题的热点.2.常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题.3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.

1.函数与映射的概念函数映射定义

建立在两个非空_____A到B上的一种确定的对应关系f，其要求：集合A中的_____一个数x，在集合B中都有__________的数____和它对应

建立在两个非空_____A到B上的一种确定的对应关系f，其要求:集合A中的_____一个元素x，在集合B中都有_________的______与之对应

数集任意唯一确f(x)定集合任意唯一确定元素y记法y=f(x),x∈Af:A→B

【即时应用】(1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填“是”或“否”)①A=R，B={x|x＞0},f:x→|x|;()②A=R，B=R，f:x→x2;()③A=Z,B=R，f:

；()④A=Z，B=Z，f:x→x2-3.()(2)设A={0,1,2,4}，B={,0,1,2,6,8}，判断下列对应关系是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)①f:x→x3-1()②f:x→(x-1)2()③f:x→2x-1()

④f:x→2x()【解析】(1)①否，因为A中的元素0在B中没有对应元素;③否，因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素;②④是，满足函数的定义，是从A到B的函数.

(2)①不是，当A中的x=0，2，4时在B中没有对应元素；②不是，当A中的x=4时在B中没有对应元素；③是，满足映射的定义，是从A到B的映射；④不是，当A中的x=2时在B中没有对应元素.答案：(1)①否②是③否④是(2)①否②否③是④否

2.函数的构成要素函数由_______、_____、_________三个要素构成，对函数y=f(x),x∈A，其中，(1)定义域:自变量x的__________.(2)值域：函数值的集合___________.定义域值域对应关系取值范围A{f(x)|x∈A}【即时应用】(1)判断下列各组函数中，是否是同一函数.(请在括号中填“是”或“否”)①f(x)=x与g(x)=()②f(x)=|x|与g(x)=()③f(x)=x|x|与g(x)=()④f(x)=与g(t)=t+1(t≠1)()(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为____.(3)设集合A=,集合B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=_______.【解析】(1)①否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；②否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同；③否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；④是，函数f(x)==x+1(x≠1)与g(t)=t+1(t≠1)是同一函数.(2)当x取0,1,2,3时，对应的函数y的值依次为0,-1,0,3,所以其值域为{-1,0,3}.(3)已知A={x|x-2≥0}={x|x≥2},B={y|y≥0},∴A∩B={x|x≥2}.答案:(1)①否②否③否④是(2){-1,0,3}(3){x|x≥2}3.函数的表示方法表示函数的常用方法有：_______，_______和_______.解析法列表法图象法【即时应用】

(1)下列四个图象是函数f(x)=的图象的是_______.(2)若，则f(x)的解析式为_______.【解析】(1)∵∴①正确.(2)方法一：令t=，则x=(t-1)2,t≥1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).方法二：∵x+=(+1)2-1,∴又+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).答案：(1)①(2)f(x)=x2-1(x≥1)4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因_________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.对应关系【即时应用】(1)已知函数f(x)=则=_______.(2)设f(x)=若f(x)=3，则x=_______.【解析】∴(2)当x≤-1时，-x+2=3，得x=-1，符合要求；当-1＜x＜2时，x2=3，得x=，只有符合要求；当x≥2时，2x=3,得x=,不符合要求.综上可知，x=-1或答案：(1)(2)-1或

求简单函数的定义域、值域【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］，则f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b］，则f(x)的定义域为g(x)在x∈［a,b］时的值域.2.求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.【例1】(1)(2012・揭阳模拟)函数f(x)=的定义域为________.(2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1]，求f(x)的定义域；(3)求下列函数的值域.①y=x2+2x,x∈［0,3］,②y=log3x+logx3-1,③【解题指南】(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可；(2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解;(3)根据解析式的特点，分别选用①图象观察法；②均值不等式法；③单调性法求值域.【规范解答】(1)要使函数有意义，需要即x＞2且x≠3,∴函数的定义域为{x|2＜x＜3或x＞3}.答案:{x|2＜x＜3或x＞3}(2)∵f(2x)的定义域为［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2x≤2，故f(x)的定义域为［,2］.(3)①y=(x+1)2-1在［0,3］上的图象如图所示,816141210246yxo-4-2213456-1-3-2由图象知：0≤y≤32+2×3=15,所以函数y=x2+2x，x∈［0,3］的值域为［0,15］.②∵y=log3x+，定义域为(0,1)∪(1,+∞)，当0＜x＜1时，当x＞1时，综上可知，其值域为(-∞,-3］∪［1,+∞).③因为x2-1≥-1，又y=2x在R上为增函数,∴y=故值域为［,+∞).【互动探究】若本例(2)中条件不变，求f(log2x)的定义域.【解析】由本例(２)中知f(x)的定义域为［,2］,∴函数y=f(log2x)中，≤log2x≤2,即：故函数f(log2x)的定义域为【反思・感悟】1.由解析式求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式(组)，从而求解.2.f(g(x))的定义域为［a,b］，指的是x的取值范围是[a,b]而不是g(x)的取值范围是［a,b］.3.求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足用基本不等式的条件，则用基本不等式求解.【变式备选】若函数f(x)=的定义域为R，则a的取值范围为________.【解析】因为函数f(x)的定义域为R，即≥0,对x∈R恒成立，亦即x2+2ax-a≥0对x∈R恒成立,∴需Δ=(2a)2-4・(-a)=4a2+4a≤0即可,解得:-1≤a≤0.答案：{a|-1≤a≤0}

分段函数及其应用【方法点睛】确定与应用分段函数的一般步骤首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.【提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【例2】(1)(2012・北京模拟)已知函数f(x)=则f(x)-f(-x)＞-1的解集为()(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)(B)［-1,)∪(0,1］(C)(-∞,0)∪(1,+∞)(D)［-1,］∪(0,1)(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解，再求其并集.(2)已知图象形状，求解析式，可用待定系数法.【规范解答】(1)选B.①当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，此时f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,∴f(x)-f(-x)＞-1化为-2x-2＞-1，得x＜，则-1≤x＜.②当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，此时，f(x)=-x+1，f(-x)=-(-x)-1=x-1,∴f(x)-f(-x)＞-1化为-x+1-(x-1)＞-1,解得x＜，则0＜x≤1.故所求不等式的解集为(2)根据图象，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x≤1).∵点(1,1),(0,2)在射线上,∴∴左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1);同理,x≥3时，函数的解析式为y=x-2(x≥3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a＜0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a+2=1,a=-1,∴1≤x≤3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3),综上，函数的解析式为y=【互动探究】本例(2)的条件不变，求函数y=f(x)的值域.【解析】方法一：由函数y=f(x)的图象可得y≥1，所以函数y=f(x)的值域为{y|y≥1}.方法二：由函数y=f(x)的解析式可知,当x＜1时，y∈(1,+∞),当1≤x≤3时，y∈［1,2］;当x＞3时，y∈(1,+∞),∴所求函数的值域为［1,+∞).【反思・感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的值.

【变式备选】1.(2012・吉林模拟)设函数f(x)=若f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选B.由已知得解得当x≤0时，由f(x)=x得，x2+2x-2=x，得x=-2或x=1,又x≤0，故x=1舍去,当x＞0时，由f(x)=x得x=2,所以方程f(x)=x有两个解.2.甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地.从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数解析式.【解析】由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时.当货车从甲地前往乙地时,由题意，可知y=50x(0≤x≤3);当货车卸货时,y=150(3＜x＜4)；当货车从乙地返回甲地时,由题意，知y=150-60(x-4)(4≤x≤6.5).所以y=

求函数值【方法点睛】求函数值的类型及解法(1)f(g(x))型：遵循先内后外的原则；(2)分段函数型：根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分类讨论；(3)已知函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解；(4)抽象函数型：对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数关系，适当赋值，从而求得待求函数值.

【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求的值.【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，将f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出，再求的值.【规范解答】若x≠0，则有取x=则有(∵f(x)是偶函数，).由此得于是，若x=0，则0×f(0+1)=(1+0)f(0)，有f(0)=0,∴f(f())=f(0)=0.【反思·感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质，但又不知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的.【变式训练】已知f(x)=则的值等于()(A)-2(B)1(C)2(D)3【解析】选D.∴【变式备选】设对任意实数x,y均有f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y,(1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式.【解析】(1)令x=y=0,∴f(0)=0.(2)当x为任意实数，y=0时,f(x)=2f(0)+x2+3x,∴f(x)=x2+3x.【创新探究】与函数有关的新定义问题【典例】(2011·广东高考)设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(fg)(x)和(f·g)(x)；对任意x∈R，(fg)(x)=f(g(x))；(f·g)(x)=f(x)g(x).则下列等式恒成立的是()(A)((fg)·h)(x)=((f·h)(g·h))(x)(B)((f·g)h)(x)=((fh)·(gh))(x)(C)((fg)h)(x)=((fh)(gh))(x)(D)((f·g)·h)(x)=((f·h)·(g·h))(x)【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断.【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表，选项分析结论A((fg)·h)(x)=(fg)(x)h(x)=f(g(x))h(x);((f·h)(g·h))(x)=(f·h)((g·h)(x))=(f·h)(g(x)h(x))=f(g(x)h(x))h(g(x)h(x));等式不恒成立

B((f·g)h)(x)=(f·g)(h(x))=f(h(x))g(h(x));((fh)·(gh))(x)=(fh)(x)(gh)(x)=f(h(x))g(h(x));等式恒成立C((fg)h)(x)=(fg)(h(x))=f(g(h(x)));((fh)(gh))(x)=(fh)((gh)(x))=(fh)(g(h(x)))=f(h(g(h(x))));等式不恒成立D((f·g)·h)(x)=(f·g)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x);((f·h)·(g·h))(x)=(f·h)(x)(g·h)(x)=f(x)h(x)g(x)h(x).

等式不恒成立【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖.(2)考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽象函数的理解，需要考生有较强的理解能力