第三章函数应用测评

第三章函数的应用第1课时

方程的根与函数的零点基础梳理f(x)=0的实数有交点零点1.函数零点的定义对于函数y=f(x)，我们把使

叫做函数y=f(x)的零点.2.函数零点的意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴

函数

y=f(x)有

.3.函数零点存在性定理（零点定理）连续不断f(a)·f(b)<0f(c)=0如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈(a,b)，使得，这个c也就是方程f(x)=0的根.4.确定函数零点所在的大致区间及零点个数的方法、步骤（1）用计算器、计算机或笔算出x、f(x)的对应值表格;（2）作出y=f(x)的图象;（3）确定y=f(x)的单调性情况;（4）将定义域进行分割，应用零点存在性定理判断零点所在的大致区间，并通过单调性确定函数零点的个数.典例分析题型一

求函数零点分析

根据函数零点与相应方程的根之间的关系，就是求该函数相对应的方程的根.例1

求下列函数的零点（1）f(x)=-

-2x+3;

(2)f(x)=

-1.解

（1）由于f(x)=-

-2x+3=-（x+3）(x-1),所以方程-

-2x+3=0的两根是-3,1，故函数的零点是-3，1.(2)由于f(x)=

-1=（

+1）(x+1)(x-1),所以方程

-1=0的实数根是-1,1,故函数的零点是-1,1.举一反三1.求函数f(x)=

-4x的零点.解析:

令f(x)=0,即

-4x=0,即x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得

=0,

=-2,

=2,所以函数f(x)=

-4x有3个零点，分别是-2,0,2.题型二

判断方程零点个数例2

求函数f(x)=

+lg(x+1)-2的零点个数.分析

判定复合函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数问题，解答本题可采用数形结合的方法.解

方法一：∵f(0)=1+0-2=-1＜0,f(2)=4+lg3-2≈2.48＞0,由根的存在性定理知，f(x)在（0,2）上必定存在实根,又显然f(x)=

+lg(x+1)-2在（0,+∞）上为增函数，故f(x)有且只有一个实根.方法二：在同一坐标系下作出h(x)=2-

和g(x)=lg(x+1)的叠合图.由图象知y=lg(x+1)和y=2-

有且只有一个交点，即f(x)=

+lg(x+1)-2有且只有一个实数根.举一反三答案:

C2.方程

-x-1=0在［1,1.5］内实数解有(

)A.3个

B.2个C.至少1个

D.0个解析:

方程

-x-1=0在［1,1.5］内实数解的个数，即为函数f(x)=

-x-1在［1,1.5］内零点的个数，由f(1)·f(1.5)＜0可知f(x)=

-x-1在［1,1.5］内至少有1个变号零点，故方程

-x-1=0在［1,1.5］上至少有1个实数解.

题型三判断函数零点所在大致区间例3方程log3x+x=3的解所在的区间为（）

A.(0，2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)分析构造函数并转化为确定函数的零点位于的区间，令f(x)=log3x+x-3，则f(2)=log32+2-3=log3<0，f(3)=log33+3-3=1>0,那么方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).解

C举一反三3.求证：方程

-7x-1=0的根一个在区间（-1,0）上，另一个在区间（1，2）上.证明:

欲证方程

-7x-1=0的两根分别位于区间(-1,0)和（1，2）上,即证在（-1,0）和(1,2)上分别有一个零点.设f(x)=

-7x-1,则f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11＜0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15＜0.由于二次函数f(x)=

-7x-1是连续的，故f(x)在（-1,0）和(1,2)上都有零点，即方程

-7x-1=0的一个根在（-1,0）上，另一个根在（1,2）上.第2课时

用二分法求方程的近似解基础梳理连续不断f(a)·f(b)<0逐步逼近f(a)及f(b)的符号相反（a＜b），在a与b之间1.二分法的概念对于在［a，b］上，且的函数y=f(x)，通过不断地把函数零点所在的区间一分为二，使区间两个端点，进而得到零点近似值的方法.2.二分法的理论依据如果函数y=f(x)是连续的，且那么方程f(x)=0存在一个根.3.二分法求函数零点的步骤（给定精确度ε）(1)确定区间［a,b］，验证

,给定精确度ε;(2)求区间（a,b）的中点

=

.(3)计算f(

).①若f(

)=0,则

就是函数的零点；②若f(a)·f(

)＜0,则令

=b［此时零点x0∈(a,

)］;③若f(

)·f(b)＜0,则令

=a［此时零点x0∈(

,b)］.(4)判断是否达到精确度ε，即若|a-b|＜ε,则得到零点近似值a（或b）,否则重复(2)~(4).f(a)·f(b)＜0典例分析题型一

求方程近似解解

由于f（-2）=-1＜0,f(-3)=4＞0，故取区间［-3,-2］作为计算的初始区间,用二分法逐次计算，列表如下：

例1

求函数f(x)=

的负零点.（精确到0.1）区间中点中点函数值［-3,-2］-2.51.25［-2.5,-2］-2.250.0625［-2.25,-2］-2.125-0.484375［-2.25,-2.125］-2.1875-0.21484375［-2.25,-2.1875］-2.21875-0.077148437举一反三根据上表计算知，区间［-2.25,-2.1875］的长度是0.0625＜0.1，所以函数的负零点可取-2.1875.1.求方程

+3x=7的近似值.（精确到0.1）解析:

原方程即

+3x-7=0，令f(x)=

+3x-7，并结合y=

与y=-3x+7的图象知方程f(x)=0只有一解.计算f(1)=2+3-7=-2＜0,f(2)=

+3×2-7=3>0，可知

∈(1,2).取区间(1,2)的中点

=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33＞0;再取(1,1.5)的中点

=1.25,f(1.25)≈-0.87＜0.例2

利用计算器求方程lgx=3-x的近似解.（精确度0.1）分析

本例是超越方程根的求解，而且是求近似值，故解答本题可采用二分法逐步逼近.∴f(1.25)·f(1.5)＜0,∴

∈(1.25,1.5).同理可求得

∈(1.375,1.5),

∈(1.375,1.4375),此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4,∴原方程精确到0.1的近似解为1.4.解

设f(x)=lgx+x-3,在同一坐标系中，作出y=lgx和y=3-x的图象，如图所示，观察图象可以发现lgx=3-x有唯一解

,且

∈(2,3),f(2)＜0,f(3)＞0，利用二分法可列下表：由于|2.625-2.5625|=0.0625＜0.1,所以原方程的近似解可取2.5625.区间中点值中点函数近似值（2，3）2.5-0.102059991(2.5,3)2.750.189332693(2.5,2.75)2.6250.044129307(2.5,2.625)2.5625-0.028836125(2.5625,2.625)举一反三2.求

的近似值.（精确度0.01）解析:

设x=

，则

=2,即

-2=0，令f(x)=

-2,则函数f(x)的零点的近似值就是

的近似值，以下用二分法求其零点.由f(1)=-1＜0,f(2)=6＞0,故可以取区间［1,2］为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,2)1.51.375(1,1.5)1.25-0.0469(1.25,1.5)1.3750.5996(1.25,1.375)1.31250.2610(1.25,1.3125)1.281250.1033(1.25,1.28125)1.2656250.0273(1.25,1.265625)1.2578125-0.01题型二

用二分法解决实际问题例3

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10km长大约有200多根电线杆.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？分析

可以利用二分法的原理进行查找.解

如图，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则断定故障在BC段;再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则断定故障在CD段;再到CD中点E来查……这样每查一次，就可把待查的线路长度缩减到一半，故经过7次查找，即可将故障发生范围缩小到50~100m之间，即一两根电线杆附近.由于区间［1.2578125,1.265625］的长度1.265625-1.2578125=0.0078125＜0.01,1.265625是函数零点的近似值，即32的近似值是1.265625.举一反三3.如图，有一块边长为30cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积为1200

的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少厘米？（精确到0.1cm）解析:

设盒子的体积为y，则以x为自变量的函数解析式为y=

如果要做成一个容积是1200

的无盖盒子，那么有方程

=1200,其定义域为{x|0＜x＜15}.令f(x)=

-1200,借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间(1,2)和（9,10）内各有一个零点，即方程

=1200分别在区间(1,2)和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（1，2）的中点

=1.5,用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0.因为f(1.5)·f(2)＜0,所以

∈(1.5,2).同理可得,

∈(1.5,1.75),

∈(1.625,1.75),

∈(1.6875,1.75),

∈(1.6875,1.71875),

∈(1.6875,1.703125),

∈(1.6875,1.6953125).由于|1.6953125-1.6875|=0.0078125＜0.1,此时区间（1.6875,1.6953125）两个端点精确至0.1的近似值都是1.7,所以方程在区间(1,2)内精确到0.1的近似解为1.7，同理可得方程在区间(9,10)内精确到0.1的解为9.4.故如果要做成一个容积为1200

的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7cm或9.4cm.第3课时

几类不同增长的函数模型1.三种函数模型的性质

函数

性质y=

(a＞1)y=

(a＞1)y=

(n＞0)在(0，+∞)上的增减性增长的速度相对平稳图象的变化随x增大逐渐随x增大逐渐随n值而不同增函数基础梳理增函数增函数越来越快越来越慢平行于x轴平行于y轴速度不同2.函数y=

(a＞1)，y=

(a＞1)和y=

(n＞0)增长速度的对比（1）对于指数函数y=

（a＞1）和幂函数y=

（n＞0），在区间（0,+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，

会小于

，但由于

快于

,

因此总存在一个

当x＞

时，就会有

.（2）对于对数函数y=

(a＞1)和幂函数y=

(n＞0)，在区间（0,+∞）上，尽管在x的一定范围内,

可能会大于

,但由于

慢于

，因此总存在一个

,当x＞

时，就会有

.（3）在区间（0,+∞）上，尽管函数y=

(a＞1)，y=

(a＞1)和y=

(n＞0)都是增函数，但它们的增长

，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，总会存在一个

,当x＞

时，就会有

.y=的增长y=

的增长y=的增长y=的增长典例分析题型一

一次函数模型问题例1

为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天）的通话时间x（分）与通话费y（元）的关系如下图所示：（1）分别求出通话费

,

与通话时间x之间的函数关系式；（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.分析

由图象可知，函数模型为直线型，可用待定系数法先设出函数，再求出解析式，然后比较大小.解（1）由图象可设

=

x+29,

=

x，把点B(30，35)，C(30,15)分别代入

,

得

=15,

=12，∴

=15x+29,

=12x.(2)令

=

,即15x+29=12x，则x=9623.当x=9623时，

=

,两种卡收费一致；当x＜9623时，

＞

,即“如意卡”便宜；当x＞9623时，

＜

,即“便民卡”便宜.举一反三1.“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1600元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1600元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x，x=全月总收入-1600元,税率见下表：级数全月应纳税所得额x税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%………9超过100000元部分45%（1）设应纳税额f(x），试用分段函数表示1~3级纳税额f(x)的

计算公式；（2）某人2007年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？解析：（1）依税率表，有第一段：x×5%,第二段：(x-500)×10%+500×5%,第三段：(x-2000)×15%×10%+500×5%.(2)这个人10月份纳税所得额x=4200-1600=2600,f(2600)=0.15×2600-125=265.答：这个人10月份应缴纳个人所得税265元.题型二

指数函数模型问题例2

按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少.分析

复利是把前一期的本息加在一起作为下一期的本金.先求出函数解析式，再求函数值.答：复利函数式为y=

,5期后的本利和为1117.68元.解

已知本金为a元.1期后的本利和为

=a+a×r=a(1+r);2期后的本利和为

=a(1+r)+a(1+r)r=3期后的本利和为

……x期后的本利和为y=将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得y=

=

.由计算器算得y≈1117.68（元）.2.某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5%的复利计息，问:多少年后每张债券一次偿还本利和约1000元？（lg2≈0.3010，lg1.065≈0.0273）答：11年后每张债券一次偿还本利和约1000元.解析:

设n年后每张债券一次偿还本利和1000元.题型三

分段函数模型问题分析

阴影部分随着t的增加而变化，直线过A点前后阴影部分的几何形状不一样，因此应分段求出面积、表达式，然后合成一个分段函数.例3

如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x=t（0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t).(1)求函数f(t)的表达式，并注明定义域；（2）画出函数f(t)的简图.解

（1）当0≤t≤1时，如图1所示，有f(t)=当1＜t

≤

2时，如图2所示，有(2)f(t)的图象为：举一反三3.某人开车以50km/h速度从A地出发，出发后1小时，因车坏停留2小时修车，修好后以80km/h的速度行驶，2小时后到达B地，再以70km/h的速度返回A地.把车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图象.解析:

车速vkm/h与时间th的函数关系：它的图象如图所示：第4课时

函数模型的应用实例基础梳理1.函数模型应用的两个方面（1）利用已知函数模型解决问题；（2）建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.2.应用函数模型解决问题的基本过程典例分析题型一

已知函数模型的应用题分析

解答本题可先列方程组求出待定系数，进而确定函数关系式，最后再求具体的函数值.例1

设在海拔xm处的大气压强是yPa,y与x之间的函数关系式是

其中c,k为常量，已知某地某天海平面的大气压为

Pa,1000m高空的大气压为

Pa,求600m高空的大气压强.（结果保留3个有效数字）解

将x=0,y=

,x=1000,y=

,分别代入函数式

得由①得c=将c=

代入②，得

=由计算器算得k

≈∴y=将x=600代入上述函数式，得由计算器算得答：600m高空的大气压约为举一反三1.如图是一份从2000年初到2003年初的统计图表，根据此图表得到以下说法中，正确的有（）①这几年人民生活水平逐年得到提高;②人民生活费收入增长最快的一年是2000年;③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年;④虽然2002年生活费收入增长较缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善.A.1项B.2项C.3项D.4项解析:

根据图象,“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收入指数”2000—2001年最“陡”,故②正确.生活价格指数下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故③正确.答案:

C题型二

自建函数模型的应用题例2某市原来民用电价为0.52元/kW·h,换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点）的电价为0.55元/kW·h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kW·h?分析先求出原来用电的费用，再设出峰时段的用电量建立不等式求解.解原来电费y1=0.52×200=104(元).设峰时段用电量为xkW·h，谷时段用电量为(200-x)kW·h,电费为y.则y=x×0.55+(200-x)×0.35≤(1-10%)y1,即0.55x+70-0.35x≤93.6,0.2x≤23.6,∴x≤118.即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kW·h.举一反三2.(改编题)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台需增加投入100元,已知总收益满足函数:其中x是仪器的月产量.当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)解析:

设每月产量为x台,则总成本为20000+100x,

当0≤x≤400时,∴当x=300时,有最大值25000;当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数,f(x)<6000