风险限制下的最优动态交易策略

风险限制下的最优动态交易策略经济风险价值(VaR)近年作为用来测量和控制交易组合风险的一个标准工具出现。然而，交易者受VaR限制的的现有理论分析的最优行为产生了一个作为风险控制工具的关于VaR的负面的看法。特别是在一些国家VaR限制已被发现导致风险暴露的增加和极端损失概率的增加。然而，这些结论是基于静态模型或动态模型是不一致的。在本文中我们制定了一个受VaR限制的动态一致的模型的最优投资组合选择，并且表明在早期论文中所表达的担心不被适用，始终与常见的做法，风险价值限制被动态地重新评估。特别是，我们发现，-个受风险价值模型限制的交易者的最优风险暴露总是要比一个无约束的交易者的风险暴露低，而且极端亏损的概率也较低。我们也考虑到风险限制表示在尾部条件期望TCE),—致性风险度量往往被主张作为VaR的一种替代。并且表明在我们的动态设定中，把TCE限制转变成一个等价的VaR限制往往是可能的，反过来也可以。主题分类：投资，管理，证券投资组合涉及领域：金融历史记录：2006年2月收；2006年12月，2007年1月得到修正；2007年1月接受；2007年9月21日提前在文章上发表1.介绍投资企业通常通过对交易的投资组合的风险上施加限制来限制其交易员的自由交易。因为风险价值(VaR)作为风险度量近年来得到了广泛普及，这些限制往往频繁的由VaR指定，如上,Jorion(2001,p.379)所述，“在商业区或单位，VaR可以用来确定交易者的头寸限制并决定如何分配有限的资本资源。VaR的一大优点是，它创建了一个共同标准，这个标准可以用来比较不同的冒险活动。传统上，头寸限制依据名义风险来设定。举个例子，一个交易者可能有一个一千万的五年期国债的隔夜头寸的限制。然而这个相同的限制对于三十年国债或者国债期货只具有更大的风险。因此在名义头寸限制不具有直接可比性单位。相反,VaR提供了一个共同的标准来比较各种资产类别，并且可以作为指导去为业务单位制定头寸限制。”它会很清楚在下面的分析中，我们考虑把风险限制很自然地转变成头寸限制，考虑到头寸的风险和预期收益。(见备注2和3)。VaR的流行是至少因为有一部分的事实，它是一个很容易理解的风险度量：特别是在一个给定的置信水平下，VaR是投资组合的最大损失。尽管在它被广泛使用，VaR也广为人知具有不吸引人的特征。Artzner等人(1999)通过识别合理的风险测度应该满足的四个属性，并且通过提供一个满足这些属性的风险界定方法,提出了一个风险度量的公理基础，被称作是一致性风险度量Folmer和Schied(2002)凸风险度量的概念，这是一个对一致性风险测度的概念的延伸(参见Frittelli和RosazzaGianin2002)。众所周知，VaR即是不相关也不是凸风险测度。这已经引起Artzner等人(1999)提出的尾部条件期望(TCE)方法的使用，这种方法被定义为上述VaR损失的条件期望，作为一种替代VaR的测度方法。TCE是技术条件下风险分布下的一个连贯的凸风险度量oDelbaen(2000,2002)，Folmer和Schied(2004)提供了静态风险测度的详细调查，其中包括其他一致性和凸风险度量的例子。最近静态风险测度已经延伸到了动态风险测度Artzner等人(2003)，Cheriditoet等人(2004,2005,2006),Detlefsen和Sc和olo(2005),Weber(2006),Follmer和Penner(2006)。在本文中我们的关注点是基于VaR或者TCE风险限制下的交易者的动态投资组合的选择。这个问题在现有的文献中还没有得到完整的解决方案。Ahn等人(1999)研究了一个给定的使用股票看跌期权的股票暴露的VaR的静态最小化。 Alex和er，Baptista(2002),Huisman等人(1999),Kast等人(1999),和Vorst(2001),他们注重基于静态(一期)设定下的VaR约束的投资组合的预期收益最大化问题，而Rockafellar和Uryasev(2000)考虑静态设定下TCE的最小化问题。•)基于风险限制的投资组合选择的分析是包括动态交易的第一个延伸Emmer等人(2001)，Basak和Shapiro(2001)。Emmer等人(2001)考虑了交易者面临VaR约束的连续交易的模型。然而，因为分析的易处理性，他们仅仅考虑保持固定的投资组合权重的策略：这降低了它们的问题到了一个静态问题，导致一个动态的不一致的交易策略。Basak和Shapiro(2001)考虑了下边的静态的最优问题：supElu(W)]TELWJ<W,PW-W」<WrPW-W>VA^」<a /1X0T (1)此处u是交易者的效用方程,T>0是投资水平线(这个水平线被认为和VaR的水平线相一致)，Wt(W0)是末端投资组合值(初始投资组合值)，£t是T时刻的指定价格，1-a是可选的置信水平，VaR>0是VaR的限制。模型(1)中的第一个约束条件时通常的预算约束，第二个约束相当于投资组合VaR，而不是单个VaR约束。在模型(1)中，这个问题被解释在一个有着连续交易的完整的市场经济下，基于VaR约束动态证券投资问题的静态规划。令e满足PT>£二a，Basak和Shapiro(2001)指出无论什么时候，这个约束都是有约束力的，在某些国家，被迫减少投资组合损失来满足VaR约束的交易削将通过增加“昂贵的国家”投资组合损失来优化选择来进行资助这些减少的损失，此时£T>£。因为这些国家已经具有无约束最优策略下的最低终端组合价值，VaR约束导致的分布的尾部留下一个育肥终端产品组合的价值。（例如，极端损失的概率增加）。这使得Basak和Shapiro（2001）得出结论：VaR风险管理被许多人视为一种工具，使经济主体免于巨额亏损，当巨额亏损发生时，可能导致信用和偿付能力问题。但是，我们的解决方案表明，当一个大的损失发生时，它又是下一个大的VaR风险管理下的损失，因此更容易导致信贷问题，击垮使用VaR风险管理的目的。Basak和Shapiro（2001）也发现了在模型（1）中的VaR约束导致交易者在某些情况下比在没有这个约束下更多地投资于风险资产:持有风险增加有必要意识到“昂贵的国家”的损失的增加。最后Basak和Shapiro（2001）报告了对于建立在风险下的尾部期望的风险限制将导致既不是极端的损失的增加，也不是风险资产分配的增加:因此，出于风险控制的目的，建立在尾部期望的测度应该优先于建立在分位点上的测度（例如VaR）。然而，模型（1）的问题作为基于风险限制下交易者的动态投资组合决策的模型有一些缺点。第一，我们认为在初始数据后，投资组合的VaR从来没有被重新估值:因此，在规定的VaR的最大值下投资组合损失的条件概率为零，而交易者被允许继续遵循他的交易策略。这个假设是极端的:事实上，大多数金融机构为了内部风险控制使用VaR至少每天重新估值。第二，因为VaR约束仅仅在初始数据中应用，交易策略是动态的前后不一的，且必定被解释为委托方法:另外，交易者会发现，在初始日期后，最优投资策略会瞬间恢复到无约束的最优投资策略，VaR约束将永远不会失去其约束力。第三，模型（1）的公式假定投资组合的VaR在所有未来不可预见事件下完全了解投资者的投资策略的条件下计算出来。此外，这个假设是极端的，它不符合事实的实践情况Jorion（2001,p.107））提出在存在投资组合在VaR水平线上保持不变的假设下，VaR算出来是一个常数。在文章中，第一个贡献就是形成了一个更为实际的基于风险约束的交易者最优行为的动态一致的模型。与Basak和Shapiro（2001）不同，我们认为投资组合交易的风险是动态的不断连续重新估值的:因此，交易者必须始终满足特定的风险限制，而不是仅仅满足初始日期的风险限制。另外，我们在模型中做出的风险估计和通过假设的实践是相一致的，假设就是当估计投资组合的风险，在假设当前的投资组合保持在水平线上不变的情况下计算投资组合在选择的水平线下的分布。在完全的动态设定下，我们也允许风险限制作为投资组合价值和时间的函数来变化，并且在这个限制的可选择的功能的规格下检查最有投资策略的行为。为了技术的便利，我们把我们自己限制在对数正态分布回报的情况下。当投资组合的风险通VaR来测量，在上边所描述的动态风险约束下，最优交易行为显著不同于静态VaR约束所意味的交易行为，这使得VaR成为作为风险控制工具的更为有利的评估。事实上，对于风险资产的合适的分配总是低于没有VaR约束时的分配，且发生极度损失的概率从来不会高于没有VaR约束时的概率。就像Basak和Shapiro(2001)，我们发现最优投资策略仍表现为两基金分离形式(这两个基金是无风险资产和瞬时均值方差有效投资组合)。即使VaR限制允许的交易组合值的变化有所不同，这一结果是真的。因此，动态VaR约束不会扭曲风险资产的最优投资组合的组成：相反，它只是影响到无风险和高风险基金相对的分配量。我们也考虑到基于TCE约束的交易者最优行为，并证明在我们的设定下，TCE约束和VaR约束是两个等价的风险控制工具：具体而言，给定一个动态的TCE约束，它总是能够识别会产生相同的最优交易策略的动态VaR限制(不管交易者的偏好)，且反过来也成立。这是真实的，尽管事实上，TCE是一种相干风险度量，但是VaR约束不是，结果事实上，VaR不是次可加性的，是共单调可加的。同单调性因为作为两基金分离的结果的最优投资组合自然产生。对于在风险约束下的关于动态投资组合选择问题做出更多地的文献这件事上，Gundel和Weber(2005a,2005b)做出了很大的贡献，他们分别解决了在完全和不完全的市场下，基于效用的短缺风险约束。这些文章通过考虑有着由Gilboa和Schmeidler(1989)引进的效用方程的一般半鞅模型问题延伸了Basak和Shapiro(2001)的观点。另外，Gundel和Weber(2005a,2005b)提供了在论文中一个解的存在性的证明过程。这个证明在Basak和Shapiro(2001)论文中是没有的，他们简单的猜测这个解在一个非常特殊的市场环境下才能得出。基于效用短缺的风险限制比在其没有风险限制下有着更小的风险，但需要一个投资者的承诺。到目前为止，它没有被用于实际应用。Cuoco和Liu(2006)的研究，在本文的方法中，一个受最低资本要求金融机构联合报告和投资问题确定了自我报告的VaR方法的基础。最后，Pirvu和力tkovi'c(2006)探讨在VaR、TCE和有限的预期损失下的生长速率最大化的遍历性问题。作者假设随机市场系数并运用我们的方法来动态地评估风险。要完成文献回顾，我们列举关于调查的VaR调控对价格的影响的文章。Basak和Shapiro(2001)使用静态设定下的投资组合选择问题找到的VaR约束的均衡影响。Berkelaaretal.(2005)进行了类似的分析并且估计波动率微笑。在相关的经济设定下，Danielssonetal.(2004)考虑单期一般均衡的经济体的序列。这个设置是静态的，作者忽略了来自跨期避险

需求和那些有限的投资期限的重要影响。最后Leippoldetal.（2006）研究了当投资者动态重新评估风险时的市场均衡。投资者的这种行为是基于我们对反馈分析修改对价格的影响。把模型延伸到到随机投资机会的设定下是有趣的。类似的任务是pirvu和力tkovi'C（2006）提出的的增长率最大化问题。作者认为，在任何时间t,对于以后t+1时刻在假设市场系数保持当前价值下恒定的前提下的交易者财富投影分布被评估。Pirvu和力tkovi'c（2006）表明当满足风险限制时交易者在任何状态都持有一个较小的风险暴露。同样的简化假设可以在我们的模型中采用并将其扩展到一个随机的投资机会集和下。因为这个扩展并不影响我们的主要结论，我们避免它保持可追踪性。在没有以上假设的情况下，目前随机市场T系数的分析变得更加复杂。然而，如果风险重新评估的频率很高（是小的），那么鉴于市场系数是足够光滑，这些系数可以近似在时间间隔Lt+/通过在时间t和上述扩大它们的值适用。本文的其余部分安排如下。第2节描述了我们的模型。第3节中包含的VaR约束的最优交易策略的主要表征结果。第4节提供了一些明确的CRRA效用的例子。5节考虑了TCE约并束条件下，建立了等价的结果。第6节结束语。所有的证据都附有电子版，是可提供的在线版本，可以在/中找到。2.模型我们考虑在有限范围k丫］的一个连续时间的随机经济。不确定性是由一个过滤的概率空间°，F卩，P）表示，这里F J是货币市场帐户赚取恒定连续复利，利率r>0。另一个资产n（股票）是有风险的，且其价格过程S（包括再投资股息）是一个有着漂移向量r1+卩和扩散矩阵&的n维几何布朗运动。=s+JtIs(r1+u)d+JtIs5dw1=c，…"。不失一般性，我们0 01=c，…"。不失一般性，我们这里弋表示nxn的对角线上元素为st的对角矩阵且假设1-n-d且rankC）=n。债券和股票的交易持续发生，并且是无摩擦。W>0交易商被赋予在时间为零时初始财富为0 。他选择一个适应n维投资组合权重的过程兀t。这个过程是自我融资使价值关联过程满足动态预算约束W冗=W+JtW冗（r+兀tu）d+Jtw冗兀t5dwt 0 0S Ss0sSs我们假设过程兀t是被容许的，并且兀eA，如果（）和过程满足0,0〜t〜T。接着(2)有VWw=VW兀t+T texp(Jt+t(r+兀tu-—壮tc2)d+ft+t兀tqdw)t s2S sVWw=VW兀t+T t对于任何T>0。对于给定的T>0,W>0和兀GRn,令t+TtW(w+兀)=Wexpr+兀tu—t+Tt紧随（3）后，给定一个投资组合兀，在t时刻相关的投资组合价值为W兀，如果投资组合权重在t至卩+T时间段保持不变，则随机变量wt+T tt'将成为在时刻t+T的投资组合的未来值。对于一个给定的置信水平1-aG（0,1）和一个给定的水平线合权重在t至卩+T时间段保持不变，则随机变量wt+T tt'将成为在时刻t+T的投资组合的未来值。对于一个给定的置信水平1-aG（0,1）和一个给定的水平线T>0，投资组合兀GA在t时刻的*为""人t%且被定义为 ( ) )1( )VaRa,"=inf11>0:Pw"—ww",">L丿<a)='Qa,"Ct+Tt(t 、t t[—wV"," —w"<LE<a二t是投影组合收益在区间这里Qta,w=SUPt t+T tt tL,t+」的分位数，且x-=maxb,-x］表示实数x的负部。换句话说，VaRa兀是损失超过长度T的下一个阶段，这将仅a（小）条件概率超出，如果目前组合中保持兀不变。事实上,VaRa兀的计算是在当前的投资组合保持不变，反映实际和事实即金融机构监测他们的交易t员通常不知道在VaR的水平线上交易者的未来的投资组合选择的假设下下进行的。相反,在（4）中VaR的测度只需要了解现有的投资组合价值的，目前的投资组合，与资产收益率的条件分布。类似的，一个投资组合兀GA的TCE约束被定义为TCEa，兀t t+T tt这里x+=maxb,x］。换句话说，投资组合的TCE约束的损失超过条件期望值的"°：，"。鉴于我们的资产收益对数正态分布的假设，无论是投资组合的VaR还是TCE的，都可以明确计算。命题1.我们有Vapa，兀=w"|1-exp((r+"tu-—"tg2)t+N-itTCEa,W二Wwt t1-exp((r+兀wu)rTCEa,W二Wwt t1-exp((r+兀wu)r)-tta这里N°）和N-1（x）表示正态分布的逆分布函数。特别是,0<vapa，兀<TCLa，兀<w兀t t t和vapa,0二TCEa,0二0t t证明参见在线附录。3.VaR约束下的最优交易策略W现在考虑初始基金为03.VaR约束下的最优交易策略W现在考虑初始基金为0父易者白E投资组合交，的终端值的预期效用上风险价值VaRta“不大于某些预先设定的水平是严格递增、严格凹，连续可微、区域 dom（u）WeR:u（W）>-g lim u,（W）=0lim u,（W）=s= d的内部，满足Inada条件 wt0 , wtwW:二infWeR:u（W）>—g}u o必须选择一个投资组合兀eA以便最大化的眄在任何时间teb，T［投资组合的t丿n0t 。我们假设效用函数u:R对于交易者所面临的投资组合选择问题是如下:supElu（W）］Ts.t.W兀二W00VaR”<VaR”<VARtt teb,T]备注•因为我们假定VaRtlog1r+备注•因为我们假定VaRtlog1r+兀TU 兀TQt2t—N—(ahtqv't<0注意到在（10）中我们允许VaR约束在时间t依赖于日程表时间和投资组合的当前值兀,t>0,跟从（9）集合兀=0（也就是说，在无风险债券t t投资一切）总是满足VaR约束。因此，可行的交易策略的集合是非空的。备注2.在（6）中VaR的表达意味着投资组合兀满足约束条件VaRa贝<VaRt在单一风险资产（n=1）的情况下，它可以很容易地验证（11）相当于分配给风险资产<K<K+t t的比例兀t的上限和下限:兀<K<K+t tt此时

兀土(w,t)=/\二<T±N兀土(w,t)=/\二<T±N-i(a)±|(二&土N-1(a))2冏 \同宀, 4vapC,t)、—2log1- ^w(Iw丿、+-rT‘11n>1和2。如果n>l和a‘11n>1和2。如果n>l和a>2,设这个不等式以后是很自然的。+兀TU丿dS.+Jtw冗兀Todw,0sS s1S\+兀TU丿dS.+Jtw冗兀Todw,0sS s1S\2t丿t一N-1(a)kto豳<0导致了最优交易策略如下特征。1定理1•假设a<2且令v（w,t）=supEf为随机控制问题（13）表示值函数。定义/ I|k疗+N-1（a）+i|k卜'T+N-1（a》这里k=aTCoJ1卩。那么，决Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程兀=wT箱f皿t)八'-2log1 -rTq+(W,t)>0a对于所有的（w，t）e（0,"）xb,T］和v，解-1-V^|kI2+vw+v2v" wrtwww2vkQ+wwa2+vw(r+\k|2Q+)+vw a tvw—WQ+wvawwotherwise而且与终端条件v（w，t）=u（w）最后，令v(w,t) / .n—―-,q+(w,t)wv(w,t)aww兀+(w,t)=Q(w,t)CjtLuQ(w,t)二mi解决(13)。证明参见在线附录。备注3。方程(18)表明，VaR约束代理人的最优投资组合是无风险资产与均值方差有效投资组合^aT1卩的一个组合。因此，随着资产收益对数正态分布，VaR约束影响无风险和风险资产之间叫最优投资组合的分配，但不影响风险资产的最优投资组合的组成。在(14)中方程t丿可确定在VaR约束下，t时刻投资于均值方差有效组合的财富的最大比例(正如定理1的证明，缺失均值方差有效组合从来都不是最优的)。定理1的结果也使我们能够计算出最优交易策略下的终端组合价值的分布。推论1.令P血't)表示W兀*的密度函数。那么，p解决Kolmogorov前向方程3p=1。2S卜p(M“打dt 23w2 9」3w初始条件p(W，0)=§W-%),此处9在方程(17),8表示Dirac'sde方程。证明.参见Karatzas和Shreve(1988)。4.CRRA效用的例子我们专注我们的模型通过假设对于任何何〉0，uW)=W_丫)。我们记得，在没有VaR约束时,V有VaR约束时,V（W,t）二ep（T一tfW%_丫）"，此时Tfr+\/WeTfr+\/We和标准偏差为W0e‘兀*（w,t）= （8T）-1UrWk* We因此，从(3)和(20)，终端投资组合的价值Wt是对数正态分布，且均值为"oe为了进一步了解VaR约束的最优交易策略的影响，我们考虑下面的函数VaR血'"三种可供选择的规格，其确定在任何时候te^0,t)的最大允许风险。，从备注3和(20)注意到,<inf 9+(w,t)当且仅当r(w,t比(o,8以亦］a ，给定的VaR约束是没有约束力的。此外，从(18)和(20)可知，风险价值约束的最优投资组合是无约束的最优投资组合的倍数。q^"'t)=丫9血，t)参照Basak和Shapiro(2001)的术语(2001)，我们将把这个倍数作为相对风险暴露。特别是，我们在终端的日期的边界条件(16)得到它。

qW,t)二mini,旳+(W,t山1a在解析解不可用的情况下，我们通过改写状态变量w=log^W）来数值化地解决了偏微分方程（15），然后应用显式有限差分方法（详见Kushner和Dupuis1992）。这使我们能* w兀*够从（18）获得最佳的交易策略兀。由于应用有限差分法近似的状态变量 和一个马尔W兀*可夫链的转移概率，我们使用这些过渡概率计算终端投资组合值Wt的分布。这种方法产生的结果和通过用有限差分法求解Kolmogorov方程（19）所得到的结果的相似。所有的数值计算，假设r=0.008,k=0.37,a=0.01,t=”1%。，T=10,Y=0.5或者丫=5,W=1。此外，我们缩放函数VaR（W,t），以使VaR（W,t）=0.05（这相当于设置下0边例子中0=0.05）4.1.VaR（W,t）=0我们首先考虑的恒定风险限额的情况下：VaR血‘。在这种情况下，函数ea■是tlime+(wlime+(w,t)=wl0alime+(w,t)=Iawd+gN-1(a)+1；'(|托+N一1=0.000582因此，VaR约束是有约束力的当Y<%.000582=1,717.8，否则是不具有约束力的。计算1曲线最优策略（在（21）对于丫=0.5函数q（W,t）当t=0和当t=T）下的相对风险.和Basak和Shapiro的结论（2001）相反，图中显示了VaR约束下的代理没有投入更多的风险资产相比不受VaR约束的代理（相对风险暴露是不大于1）。因此，如图2,风险价值约束的投资策略极端损失在水平线T的概率比不受约束的策略时的低。我们认为这些结论也适用于其他的例子。因此，在表达反对使用风险值作为风险控制工具，在文献中有所保留，并不包括设置在其中的风险限额进行动态重新评估。另外值得一提的是在图1中一个重要的避险需求的存在：例如，初始财富为W=0.4（log（W））=-0.916的VaR约束下的代理和10年的投资期限将投资只有67%之00多，在均值方差有效组合不受约束的代理，尽管他可以投资的无约束最优数量的均值方差有效组合，在时间为零时仍然满足风险约束（因为^（0.4,0）=2.5>.片）。显然，这种低配置的均值方差有效组合，降低了最优投资组合的波动性，并反映当投资组合价值增加引起的极端的组合值较小的间接效用时，一个恒定的VaR约束变得更加具有约束力的事实，极端

Q+的组合值中较小的间接效用时（从图1中可以看到在这种情况下，（14）中的方程屮是一个递减函数的组合值）。图3和图4说明丫二5的情况下的相应结果。在这种情况下，避险需求是可以忽略的，女口所示的事实，在初始日期的最优风险暴露是非常接近在终端的日期的最优风险暴露。这源于一个事实，在时间t（i.e., ,t）），仅当W>4.76（log（W））>1.56）VaR约束是有约束力的，且如图4所示，这一事件的概率可以忽略不计。图1•图中表示t=0（粗线）和t=T（细线）时的相对风险暴露q（W't），假设r=0.008,k二0.37,T=10,丫二0.5,W0二1，a=0.01，t二1.260，VaR（W,t）二0.05。0.80.6D-6 -4-2 0 2log(W)6图D-6 -4-2 0 2log(W)6图2.图中表示终端投资组合值W兀*

t的概率密度在约束（粗线）和无约束（亮线）的情况下的最优交易策略，假设r=0.008,k=0.37，T二10，丫二0.5，%=1，丫二0.5,t二1260，VaR（W,t）二0.05。0.8642O.O.O.642O.O.O.-6 -4 -2 0 2log(W)图3.图中表示t=0（粗线）和t=T（细线）时的相对风险暴露q（W't），假设r=0.008,k=0.37,T=10,丫=5,W=1,a=0.01,t=垸。，VaR（W,t）二0.05。

-6 -4-2 0 2】og(W)4 6oQC-6 -4-2 0 2】og(W)4 6oQC自4卫lo.o.o.o.0图4.图中表示终端投资组合值WK*的概率密度在约束（粗线）和无约束（亮线）的情t况下的最优交易策略，假设r=0.008,k|=0.37，丫二5，T=10，W0=1，a=0.01，t二1.260VaR（W,t）二0.05。4.2.>.二工U3?二三qpqo」d2o-.26o.4.2.>.二工U3?二三qpqo」d2o-.26o..8--VaR约束固定到一个恒定的值有明显的缺点，当投资组合价值的增加，该约束变得有约束力；当投资组合的价值是足够低，该约束就没有约束力。因此，一个恒定的VaR约束处罚成功的商人。在实践中，成功的交易者通常看到他们的VaR约束增加。捕捉到这一事实，我们接下来考虑一个固定比例的VaR的情况，VaR（W,t）=。因此，沐庁+N-1（X）+、/（|E|Jt+N-1匕加_2（log（l ）+_rK）A（w,t）= =申+X 勺Jt x对于所有的（W,t），在这种情况下很容易证明价值方程V（W，人ep-t）（W%-j，这里P，-Y）（+昭-gjkI?）和

(p*=(p*=，解决HJB等式（15）。因此，pW'并且对于所有的"'"qW' 心<1。因此,在这种情况下没有套期保值的需求和VaR约束下的最优交易策略与无约束的最优交易策略的投资者CRRA的投资者CRRA系数Y*图5.图中表示终端投资组合值W沪的概率密度在约束（粗线）和无约束（亮线）的情T况下的最优交易策略’假设r=O.O08,k=0.37，T二10，“0.5，W°=1，八0.01，0.35XJ5LBP却二-qeqo・x0.150.10T二1260，VaR(W,t)二0.05W0.35XJ5LBP却二-qeqo・x0.150.100-6 -4 -2 0 2 4MW)数值参数例子二0.966，如果使VaR约束是有约束力的Y<10.966二山彳'，否则,是没有约束力的。尤其如果丫二0.5，对于代理人，有约束的最优交易策略与无约束的交易策略相比有着更高的CRRA系数厂二1.035,且相对风险暴露q（W,t）是一致的且等于0.483。图5显示了VaR约束和无约束条件的最优交易策略下的终端投资组合值分布。43VaR（W,t）=W-（1—卩W丄0在§4.1例（恒定的VaR），在均值方差有效投资组合P+允许的最大比例的投资是当前a投资组合价值的增函数，然而在§4.2例（恒定比例的VaR），它是恒定的。作为最后的例子，我们考虑VaRW,t）=（W-G-卩W丄这个情况，因此，VaR约束等于一个初始投资0组合价值的恒定的比例卩W0，加上任何经营收益W-W。在这种情况下，P+W,t）是W0 a的单调递增函数，lim3(W,t)wlok[Jx+N-iCx)+卜&+N-i(a》+2rr

k爲=0.000582lim申和WT+8因此，当Y<10.OOO582=1,717.8时，VaR约束是有约束力的。否则没有约束力在（正如§4.1例）。图6.图中表示t=0（粗线）和t=T（细线）时的相对风险暴露q（W't），假设r=0.008,\k\=0.37,T=10,Y=0.5,W°=1，a=0.01，t=[260VaRW,t)=W-G-0.05W丄。0log(W)TOC\o"1-5"\h\z值得注意的是，在对于所有W<（1-0W,a=0,Q+W,t）=0的极端情况下，最优0 a投资组合兀*有财产W^>（1—卩W）,对于所有的tet）,T］。因此，动态VaR约束VaRs<W“-G-0加）可以被认为是一种放松的动态投资组合保险的约束t t 0W“>G—卩W，对于所有的teb,T］。\o"CurrentDocument"t 0图6和7（图8和9）显示当丫=0.5（y=5）最优的风险暴露和终端投资组合价值的分配。在这两种情况下，风险价值约束的结果是终端投资组合的价值的一个高度偏态分布。正如已经指出的，当°"=0，由此产生的分布必须分配logW兀丿的值概率为零在Tlog［（1-0”］=-0.051下：图7和9的这些值的概率是正的，但可以忽略不计，而损失的概率小的0W是明显大于无约束下的政策。0图7.图中表示终端投资组合值W沪的概率密度在约束（粗线）和无约束（亮线）的情T

况下的最优交易策略’假设r=O.O08,k=0.37,T=10，，二0.5,忙=1,八0.°1,t二1260,VaR(W,t)=W-(1-0.05”丄。士uap2?三qpqp_d00.20士uap2?三qpqp_d00.200.05-6 -4 -2 0 2 4log(W)6图8.图中表示t=0（粗线）和t=T（细线）时的相对风险暴露q（W't），假设r=0.000.37,T二10,丫二5,W0二1，a二0.01，t=［么。，VaR（W,t）=W-（1-0.05”丄图9.图9.图中表示终端投资组合值”1*的概率密度在约束（粗线）和无约束（亮线）的情况下的最优交易策略’假设r=0.008,k=0.37，T-10，，二5，忙=1，八0.01，VaR(W,t)=W-G-0.05”丄0。

2121*=(_qKfqald-0.2 0 0.2 0.4 0.6(U1.0logfff)5.TCE约束现在我们将转向基于TCE风险约束的交易者的问题,supeUCw）Ts.t.w兀二wTCE<TCE♦兀,t）Vtelo,t]t t这里TCE是一个给定的非负函数且&e（0,1）o简介中所提到的，TCE被提倡作为一个比VaR更好的风险管理工具，然而，我们会表明至少在资产价格的情况下服从几何布朗运动，VaR或TCE的选择作为风险管理工具是无关紧要的。）定义：约束VaRW：，t）和TCE与<TCEW，丿是等价的，如果在（10）和⑵）中的最优投资组合策略是一致的对于所有效用函数u。TCE中的最优投资组合策略是一致的对于所有效用函数u。TCE:pft丄，此时2VaR，兀=Wa卯p/ 、+十回想命题1 ttaG/和仔1r+兀tu一一1t2pG)=1-expxtT+N-1Cx)兀TOtp人G)=1-expxt(( ))NN-p人G)=1-expxtr+兀tu< -因为TCEa，k取决于兀仅仅通过瞬时收益率兀T卩和瞬时收益方差匸TO2，它如下定理t t 1t1，在（23）中，最优投资组合k*是一个组合的无风险资产与均值方差有效投资组合not丿1卩,例如兀*例如兀*=xt锐*,t t)1ut对于所有的方程。。下一个引理表明，它是投资组合的无风险资产与均值方差有效组合,申A=引理1对于所有的A申A=引理1对于所有的A>0，设定A是是包含原点的闭区间。因此存在方程"a和幻且"A<0叫使得"a^-(A),9+(A)A A■A A」。如果A<1，"a是有界的,a A>1 "-(A)=-a"+=+8的两个根。如果A>1，半A 且屮A 。TCE约束是相当于一个下限和上限配置的均值方差有效组鱼Gq丿1u<a证明：参见网上附录。0A(w,t)=©A 土AA回顾ME、“=“广Pa"t>,直接遵循上述引理，在（24）的政策满足在（23）的TCE的约束，当且仅当%」<血t）<^a（w,t），对于所有的（w,t0A(w,t)=©A 土AA由于卖空的均值方差有效组合从来都不是最优的，那么容易看到，对给定的VaR和TCE）"a。这导致了以下结果。）"a。这导致了以下结果。VaRA虫VaR51是等价的，这里Ae（0,1）如，如果函数在（14）屮A和函数TCEA，冗<TCEW冗昇叩题2.约束t t和约束是一个随机概率,kJt+N-1(kJt+N-1(a)+J|k师+N-10+2rT<inf(w,t)wR+xAa+(w,t)b,T](AVaP(