勾股定理的逆定理

数学新课标（RJ）八年级下册探究新知探究新知新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理教材重难处理

教材【第33页例2】改编题如图17－2－1所示，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16n

mile，“海天”号每小时航行12n

mile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30n

mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，请解答下列问题：17.2勾股定理的逆定理(1)求证：△PRQ是直角三角形；(2)“海天”号沿哪个方向航行呢？(3)求△PRS与△PQS的面积之比；(4)如果将方向线看成坐标轴，求点S的坐标．图17－2－117.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理探究新知

►活动1知识准备17.2勾股定理的逆定理1．在直角三角形中，两直角边长分别为6cm，8cm，则斜边长是__________．2．若在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为_______三角形．3．已学过的直角三角形的判定方法：___________________________________、__________________________________________．10_cm直角有一个角是90°的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形

►活动2教材导学17.2勾股定理的逆定理下面的四组数分别是一个三角形的三边长a，b，c.①a＝5，b＝12，c＝13；②a＝6，b＝8，c＝10；③a＝7，b＝24，c＝25；④a＝8，b＝15，c＝17.17.2勾股定理的逆定理(1)计算验证，这四组数有几组满足a2＋b2＝c2?(2)分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们有几个是直角三角形？你认为所得到的结论的共同特点是什么？[答案](1)都满足(2)略新知梳理

►知识点一勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是____________________．[注意](1)c为三角形中最长的边；(2)长度为c的边所对的角为直角．勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数．直角三角形17.2勾股定理的逆定理

►知识点二互逆命题互逆命题：如果两个命题的题设、结论_______________，我们就把这样的两个命题叫做______________．原命题与逆命题：如果我们把其中一个叫做____________，那么另一个叫做它的____________．[注意]一个命题有真假之分，其逆命题也有真假之分．原命题是真命题，逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，逆命题也不一定就是假命题．正好相反互逆命题原命题逆命题17.2勾股定理的逆定理

►知识点三逆定理一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．[说明](1)逆定理一定是真命题；(2)勾股定理的逆命题经过证明是真命题，因此该命题也叫勾股定理的逆定理．重难互动探究探究问题一直角三角形的判别17.2勾股定理的逆定理[解析]首先求出线段a，b，c的平方数，看它们之间是否满足较小两数的平方和等于最大数的平方．第(3)小题可设a＝3k，b＝4k，c＝5k后，再判断．17.2勾股定理的逆定理解：(1)∵52

＋122

＝169，132

＝169，∴52

＋122

＝132，∴这个三角形是直角三角形．(2)∵42

＋52

＝41,62

＝36，∴42

＋52≠62，∴这个三角形不是直角三角形．17.2勾股定理的逆定理(3)设三角形的三边长分别为3k，4k，5k，∵(3k)2

＋(4k)2

＝25k2，(5k)2

＝25k2，∴(3k)2

＋(4k)2

＝(5k)2，∴这个三角形是直角三角形．(4)∵(m4－n4)2＋(2m2n2)2＝m8－2m4n4＋n8＋4m4n4＝m8＋2m4n4＋n8＝(m4＋n4)2

，∴这个三角形是直角三角形．17.2勾股定理的逆定理[归纳总结]判定直角三角形的一般步骤：(1)先找出三角形中最长的边c；(2)分别计算a2＋b2和c2；(3)判断a2＋b2和c2是否相等．若相等则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．具体运用时，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方即可．17.2勾股定理的逆定理探究问题二勾股定理及其逆定理的综合运用17.2勾股定理的逆定理[解析]要求四边形ABCD的面积，将它转化为两个三角形面积之和，已知AB⊥BC，所以连接AC，则△ABC为直角三角形，同时，根据勾股定理的逆定理可证明△ACD也是直角三角形．17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理[归纳总结]单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形后，再求这个直角三角形的角度或求面积．综合应用：先由勾股定理求出三角形的边，再由勾股定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题．逆向应用：(非直角三角形的判定)如果一个三角形的较短的两边的平方和不等于最长边的平方，那么，这个三角形就不是直角三角形．当一个四边形不是规则四边形时，往往将其面积通过割或者补的办法转化为三角形的面积计算．一个直角三角形中，若已知两边长应考虑计算第三边长；若一个三角形三边长都已知，则考虑判定该三角形是不是直角三角形．17.2勾股定理的逆定理例3

如图17－2－3所示，南北向MN为我国领域，即MN以西为我领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B，已知A，C两艇的距离是13海里，A，B两艇的距离是5海里，反走私艇B测得离C艇的距离是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？图17－2－317.2勾股定理的逆定理[解析]为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：(1)△ABC是什么类型的三角形？(2)走私艇C进入我领海的最近距离是多少？(3)走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解．17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理[归纳总结](1)在应用题中要学会建立数学模型，灵活运用勾股定理的逆定理判断哪些三角形是直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理求出要求的线段长．(2)应注意解决这类问题的手段和工具是构造直角三角形，运用勾股定理及其逆定理求解．17.2勾股定理的逆定理探究问题三互逆命题17.2勾股定理的逆定理[解析]写出一个命题的逆命题关键是要识别这个命题的题设和结论，把一个命题的题设和结论对调就得到这个命题的逆命题.(1)的题设是两直线平行，结论是同位角相等．(2)的题设是x＝1，结论是x2－1＝0.(3)的题设是两个角是对顶角，结论是这两个角相等．17.2勾股定理的逆定理解：(1)命题成立．逆命题是“同位角相等，两直线平行”．逆命题成立．(2)命题成立．逆命题是“若x2－1＝0，则x＝1”．逆命题不成立，因为当x2－1＝0时，