保角变换法求解定解问题

保角变换法求解定解问题第一页，共三十六页，2022年，8月28日

保角变换法解定解问题的基本思想是：通过解析函数的变换（或映射，这部分知识在复变函数论中已经学习过）将平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换就求得了原始定解问题的解．第二页，共三十六页，2022年，8月28日

这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解问题中的解析法――保角变换法，它是解决这类复杂边界的最有效方法．它特别适合于分析平面场的问题，例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍．复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。第三页，共三十六页，2022年，8月28日16.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系在复变函数论中我们已经知道，由解析函数实现的从z平面到平面的变换在的点具有保角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一对应的保角变换，即假定和它的反函数都是单值函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一叶．第四页，共三十六页，2022年，8月28日定律

如果将由到的保角变换看成为二元（实变）函数的变换由到的变量代换，则平面上的边界变成了平面上的边界．我们能证明，如果程，则经过保角变换后得到的满足拉普拉斯方也满足拉普拉斯方程．第五页，共三十六页，2022年，8月28日【证明】

利用复合函数求导法则有

(16.1.1)同理第六页，共三十六页，2022年，8月28日

(16.1.2)两式相加得到（）第七页，共三十六页，2022年，8月28日利用解析函数的C-R条件

(16.1.4)以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质

(16.1.5)将式（）和式（）代入到式（）化简后得到第八页，共三十六页，2022年，8月28日注意到上式已经使用了：对于保角变换因而只要满足拉普拉斯方程，则）也满足拉普拉斯方程，即为第九页，共三十六页，2022年，8月28日（）这样我们就有结论：如果在平面上给定了的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换

，可以将它转化为平面上的拉普拉斯方程边值问题．第十页，共三十六页，2022年，8月28日同理可以证明，在单叶解析函数变换下，泊松方程

a)仍然变为泊松方程（b）第十一页，共三十六页，2022年，8月28日由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度发生了变化．同理可以证明，亥姆霍兹方程

a)经变换后仍然变为亥姆霍兹方程

b)第十二页，共三十六页，2022年，8月28日容易注意到方程要比原先复杂，且前的系数可能不是常系数．下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程．

保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．第十三页，共三十六页，2022年，8月28日16.2保角变换法求解定解问题典型实例例

设有半无限平板，在边界=0上，处保持温度处保持温度=0．求平板上的稳定温度分布．【解】根据题意可得出定解问题第十四页，共三十六页，2022年，8月28日（）作如下的保角变换．（1）作分式线性变换(16.2.2)第十五页，共三十六页，2022年，8月28日可以验证，考虑实轴

的对应关系：图16.1第十六页，共三十六页，2022年，8月28日(i)若，则，故，即有(ii)若则或（a）首先讨论的情况,考虑到题给条件则故第十七页，共三十六页，2022年，8月28日（b）再考虑的情况,则故如图16.1所示，根据(16.2.1)式中的边界条件，对应于处温度为，故平面的负实轴（即）温度保持为；而在处有，故第十八页，共三十六页，2022年，8月28日平面的正实轴温度保持为零．（2）作变换

(16.2.3)把平面的上半平面变成平面上平行于实轴，宽为的一个带形区域，

平面的正实轴变换为平面的实轴（正实轴辐角为零，故对应于），

第十九页，共三十六页，2022年，8月28日平面的负实轴变换为平面的平行于实轴的直线,故对应于）．（负实轴辐角为 于是，在变换(16.2.4)之下，定解问题变换为

(16.2.5)第二十页，共三十六页，2022年，8月28日在这种情况下，等温线是与实轴平行的直线=常数，热流线则是与虚轴平行的直线

=常数．在(,)坐标系中，由对称性知拉普拉斯方程的解与无关，因此，定解问题又简化为（）第二十一页，共三十六页，2022年，8月28日方程的解是考虑边界条件即得到（）回到平面，则第二十二页，共三十六页，2022年，8月28日

例

试求平面静电场的电势分布，其中（）

(16.2.9)【解】

变换使上半平面变成平面上的带形域（图16.2）,

然的，类似于上面定解问题(16.2.6)的结果(16.2.7),则本定解问题可归结为而在带形域上的解是显第二十三页，共三十六页，2022年，8月28日

(16.2.10)图１６．２第二十四页，共三十六页，2022年，8月28日而

所以于是，作反变换便可求得所求问题的解为进一步讨论：（1）同理可证第二十五页，共三十六页，2022年，8月28日是下列定解问题的解（说明：这里的和下面的不代表求导，是指彼此不同的值）(2)同理可证是下列定解问题的解第二十六页，共三十六页，2022年，8月28日(3)可证是下列定解问题的解：其中第二十七页，共三十六页，2022年，8月28日又可改写成（4）进一步推广是下列定解问题的解第二十八页，共三十六页，2022年，8月28日例

若把柱面充电到第二十九页，共三十六页，2022年，8月28日试用保角变换法求解一半径为的无限长导体圆柱壳内的电场分布情况．【解】即求解定解问题第三十页，共三十六页，2022年，8月28日

作如下的保角变换

(1)作变换

把原图象缩小为倍．即将任意的圆周变换为单位圆．

(2)再作变换

把变换为，其边界的变换是将下半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴．第三十一页，共三十六页，2022年，8月28日图１６．３ （3）再作变换

把平面的上半平面变成平面上平行于实轴，宽为的一个带形区域，其边界的第三十二页，共三十六页，2022年，8月28日变换是将平面的正半实轴变换为平面的实轴，平面的负半实轴变换为平面的平行于实轴的直线，如图16.3所以，在变换之下，定解问题变换为第三十三页，共三十六页，2022年，8月28日定解问题的解（仿上例）为将变量回