专题119 离散型随机变量的均值与方差(解析版)

专题11.9离散型随机变量的均值与方差(广东省河源一中2019届期中)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()TOC\o"1-5"\h\z23 B.3C.2 D.3【答案】D【解析】因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X=2)=C；=3,P(X=3)=CCC1=|，所以E(X)=2x3+3x|=3.2(陕西省安康一中2019届期末)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)=0.5，P(X>2)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"=0.3，则P(X<0)=( )A.0.2 B.0.3C.0.7 D.0.8【答案】B【解析】因为随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x=a对称，且P(X>a)=0.5.由P(X>1)=0.5，可知a=1，所以P(X<0)=P(X>2)=0.3，故选B.(甘肃省张掖一中2019届期中)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在［98,104］内的产品估计有()(附：若X服从NQ，用)，则PQ—“<X<«+")=0.6827，PQ—2“<X<«+2“)=0.9545)A.4093件 B.4772件C.6827件 D.8186件【答案】D【解析】由题意可得，该正态分布的对称轴为1=100，且。=2,贝9质量在［96,104］内的产品的概率为PQ—2"<X<«+2“)=0.9545，而质量在［98,102］内的产品的概率为PW—。<X<«+力=0.6827，结合对称性可知，质量在［98,104］内的产品的概率为0.6827+O'545—爵827=0.8186，据此估计质量在［98,104］内的产品的数量为10000x0.8186=8186(件).2每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为3,如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()8TOC\o"1-5"\h\zA.3 B.35C.2 D.3【答案】B\o"CurrentDocument". 12228 1【解析】在一轮投监中，甲通过的概率为p=2x3X3+3X3=9，未通过的概率为9.X服从二项分布X〜B(3,9)由二项分布的期望公式，得E(X)=3x|=|.(一中2019届期中)某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设4为回答正确的题数，则随机变量4的数学期望e(4)=()A.14A.13D.2c.3D.2【答案】【解析】由已知得【解析】由已知得4的可能取值为0,1,2,3.1121 112,112,1115 112,111,1111D以一八\————— U——1\—一、/一一、，一一L一、,一、,———~~ D/>————一、，一、，一—I—一、，一、，一一I——、✓"、/一——一 DZ/1(4 O)X X) ，1(4 1)XX)~\X X)~\ XX) ，i(C2)X X)~\ XX)~\X X) )，1(42236 22322322312 2232232233———'• ——I—1x5_qx]—4。)cXXcic・・・L(4) XXx X[cc・,22312 , 6 12 3 123(浙江省衢州一中2019届期末)已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)=()A.1 B.0.6 C.2.44D.2.4【答案】C【解析】由0.5+m+0.2=1得m=0.3，AE(X)=1x0.5+3x0.3+5x0.2=2.4，AD(X)=(1—2.4)2x0.5+(3—2.4)2x0.3+(5—2.4)2x0.2=2.44.(江苏省镇江一中2019届期中)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和〃(〃EN*)个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)=1，则E(X)=()

A.1B.2C.3D.4A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由题意，X〜B(4,p),^D(X)=4p(1~p)=1,p=S，E(X)=4p=4x5=2.(湖南省益阳一中2019届期末)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为2,乙在每局中获胜的概率为3,且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)^()a241b266 c274 d670A.81 b-81 C.81 D.243【答案】B【解析】依题意，知X的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为为印+僵尚.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=9，/八4520 / ⑷216p(x=4)=9X9=81，p(X=6)="J=81,20 16266故E(X)=2x9+4x8J+6x8J=8T.(河南省新乡一中2019届期中)已知随机变量4的分布列为4123P0.5xy若顼4)=?，则D(沪【答案】告【解析】由分布列性质，得x+j=0.5.C1_ 15f, 11—AX~8,又E(4)=~8，得2x+3y=~8,可得 3〔y=§.(⑸2(⑸21 15VD(g一互7光+侦一5564.(湖北省鄂州一中2019届期末)在一次随机试验中，事件A发生的概率为p,事件A发生的次数为4,则数学期望E（沪，方差D（Q的最大值为【解析】记事件A发生的次数4可能的值为0,1.401P1—pp数学期望E(4)=0x(1—p)+1xp=p,方差D(4)=(0—p)2X(1—p)+(1—p)2xp=p(1—p)故数学期望E(4)=p,方差D(4)的最大值为4.（安徽省马鞍山二中2019届模拟）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X,已知E（X）=3,则D（X）=（A8 A8 「6A.5 B.5c.42d.5【答案】B【解析】由题意_ /八5x3 ,八又E(X)=m+3=3，・・m=2,则X〜8(5,5),故D(X)=5x|xf1—5j=6.（安徽省宣城一中2019届模拟）某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；2②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为3,如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是（）A.3 B.3 C.2 D.3【答案】B【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为p=8,通不过的概率为9.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0,1,2,3,则"（X=0）=（9）=729；

8①224户（乂=1）=。¥中耐=729,C八侣丫1192P(X=2)=C2X成x9=729；P(P(X=3)=512729-「•随机变量X的分布列为:X0123P172924729192729512729 1 24 192 5128 8数学期望E（X）=OX729+1X7布+2x7布+3x7无=3，或由二项分布的期望公式可得e（x）=3.（广西省百色一中2019届模拟）设随机变量亳服从正态分布脚,用），函数f（x）=x2+4x+^没有零点的概率是2，则《等于（）B.2A.1B.2C.4 D.不能确定【答案】C【解析】当函数fx）=x2+4x+4没有零点时，J=16-4^<0,即。4,根据正态曲线的对称性，当函数fx）=x2+4x+4没有零点的概率是2时，《=4.14.（四川省宜宾一中2019届模拟）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E（X）=0,D（X）=1，则P(X<1)=X—1012Pabc1122【答案】2【解析】：E（X）=0,D（X）=1，a+b+c+~12=1,—1xa+0xb+1xc+2x12=0,—12Xa+02Xb+12Xc+22X~2=1,且a,b,cE[0,1],解得a=〔.,b=},c=/,P(X<1)=P(X=—1)+P(X=0)=Y^+j=N.JL乙 JL」i"。(山东省临沂一中2019届模拟)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为4,则M的期望值为.TOC\o"1-5"\h\z【解析】将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A4种不同放法，放对的个数4可取的值有0124其中p(4=0)=2=3p(4=1)=』4'2=」p(4=2)=乌=]p(4=4^—=—值有0，1，2,4.其十，P(4 0) a* 8，P(4 1) A* 3，P(4 2) A* 4，P(4 4) A4 24，. 1. 1 . 1所以E(4)=0x§+1由+2x+4x=1.8 3 4 24(广东省东莞一中2019届模拟)某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否7一.，一则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p手0)射击次数为匕若y的数学期望e(y)>4，则p的取值范围是 .【答案】(0，D【解析】由已知得P(Y=1)=p，P(Y=2)=(1—p)p，P(Y=3)=(1—p)2,7则E(Y)=p+2(1—p)p+3(1—p)2=p2—3p+3>4，解得p>2或p<2,又pE(0，1)，所以pE(0，2)(山东省泰安一中2019届模拟)某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：贷款期限6个月12个月18个月24个月36个月频数2040201010以上表中选择的各种贷款期限的频数作为2019年自主创业人员选择的各种贷款期限的概率.某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元. 2【解析】（1）由题意知，每人选择的贷款期限为12个月的概率为5,所以3人中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率P=C2X（|）2x|=-35.5X匕51 3—一,,、，一,（2）由题意知，享受的补贴为200元的概率p=5,享受的补贴为300元的概率p2=5,享受的补贴为400元的概率p3=-，所以随机变量X的分布列为:X200300400P131555所以E(X)=250+950+400=300(元)，所以2019年该市政府共要补贴w=600x300=180000(元).故2019年该市政府需要补贴18万元.（石家庄2019届模拟）某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.【解析】（1）1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为-.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则X〜B（4,3j，・•・P(X=0)=C4x[|)4=16，P(X=1)=C4x|x[|)3=82，P(X=2)=c4x\3J2X\3.)2=27，…〜」1)28P(X=3)=C4X^3x3=81，RX=4)=。4乂^)4=岳...•X的分布列为:X01234P813281_8_27_8_81181设该厂有n名工人，贝卜每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为XMn,即X=0,X=1,X=2,…，X=n,这n+1个互斥事件的和事件，则：n01234P(X<n)1^81278980811v|<90%<80,A该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y万元，则Y的所有可能取值为18,13,8,P(Y=18)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=9,P(Y=13)=P(X=3)=81，P(Y=8)=P(X=4)=81，AY的分布列为：Y18138P8_8_198181… 8. 8. 1 1408 则顼Y)=18x9+13x8j+8x81=3^(万元).故该厂每月获利的均值为粤万元.81(福建省南平一中2019届模拟)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【解析】(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，则职=笥=畚(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a，当a=38时，X=38x6=228，当a=39时，X=39x6=234，当a=40时，X=40x6=240，当a=41时，X=40x6+1x7=247，当a=42时，X=40x6+2x7=254.所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.故X的分布列为：X228234240247254P1112X1055510^9Q/1y^^9zLAy^^9zL7y2^^zLy-1所以E(X)228人10I234x5I240人5I24/人5I254x10241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38x0.2+39x0.3+40x0.2+41x0.2+42x0.1=39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为80+4x39.7=238.8元.由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元.因为238.8V241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.(江西省新余一中2019届模拟)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量乂(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080<X<120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】(1)依题意，得p1=P(40<X<80)=5^=0.2，P2=P(80MXM120)=50=0.7，5P3=P(X>120)=50=0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为P=C0(1—p3)4+q(1—p3)3p3=(0.9)4+4x(0.9)3X0.1=0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润y=5000，E(Y)=5000x1=5000(万元).②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y=5000—800=4200，因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p]=0.2；当X>80时，两台发电机运行，此时Y=5000x2=10000，因此P(Y=10000)=P(X>80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以E(Y)=4200x0.2+10000x0.8=8840(万元).安装3台发电机的情形.依题意，当40VXV80时，一台发电机运行，此时Y=5000—1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2；当80<X<120时，两台发电机运行，此时Y=5000x2—800=9200，因此P(Y=9200)=P(80<X<120)=p2=0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y=5000x3=15000，因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1，由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以E(Y)=3400x0.2+9200x0.7+15000x0.1=8620(万元).综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.(2018-全国卷III)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P(X=4)<P(X=6)，则p=()A.0.7 B.0.60.4 D.0.3【答案】B【解析】由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X〜B(10，p)，所以DX=10p(1—p)=2.4，所以p=0.4或0.6.又因为P(X=4)<P(X=6)，所以C|0p4(1—p)6<C60p6(1—p)4，所以p>0.5，所以p=0.6.(2018•浙江卷)设0<p<1，随机变量£的分布列是£0121—1—p1p222则当p在(0,1)内增大时()A.QA.Q(Q减小B.D⑥增大C.D(Q先减小后增大D.D(切先增大后减小【答案】D【解析】由题可得E(Q=2+p,所以d(q=—p2+p+4=—。一9+2，所以当p在(0,i)内增大时，2 4 、匕^2D(Q先增大后减小.(2017-全国II卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数，则D(X)=【答案】1.96【解析】有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p=0.02,n=100,则D(X)=np(1—p)=100x0.02x0.98=1.96.【2019年高考江苏卷】已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是5【答案】36+7+8+8+9+10°【解析】由题意，该组数据的平均数为 二 =8，1 5所以该组数据的方差是建(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8