工科数分课件-第七章7节_第1页
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文档简介

§7.8积分的物理1一、

o

x

定积分FF(2定积分3定积分解取r为积分变oarrbrr[a,取任一小区间[rrdr],功元dwkqdr,r 1

1所求功为w

2drkq

. r

b如果要考虑将单位电荷移到无穷w r

kq

1r

kqa4定积分例2用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？设木板对铁钉的阻力

f(x)第一次锤击时所作的功设n次击入的总深h厘

w1h

f(x)dxk121n次锤击所作

wh

f(x)dx.5wh

,

定积分h h依题意知，每次锤击所作的功相whnw1

kh22

nk2第n次击入的深

h n nn6定积分5xxx解建立坐5xxx取为积分变x取任一小区间x,xdx7定积分5xxx这一薄5xxx9.832功元素为dw88.2x5w088.2x5x22 2

3462(千焦8定积分例4以每秒a的流量往半径为R的半球形水池内注水1求在池中水深h(0hR)时水2)至少需作功多少 解如图所示建立坐标系 半圆的方程 x2(yR)2 (0y 于是对半圆上任一点,x2R2(Ry)22Ryy2(0y9定积分因已知半球可看作此半圆绕y轴旋转而成的立体,故半球内高为h的球缺的体积即水深h时水池内水的体积为 V(h)x2dy(2Ryy2 ht,V(hat即h(2Ryy2dy0两边t求导,得(2Rhh2dh故所求速

dh

定积分 (2Rhh2将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内水全部提升到池沿高度所需的功.抽水时使水位从y(0yR)降到ydy所需的功约为gx2dy(Ry), x22Ryy2定积分故将满池水全部提升到池沿高度所W 0

y2)(R

R(2R2y0

3Ry

y344二、水压

定积分定积分解解在端面建立坐标系取为积分变量，x[0取任一小区间x,xdxpx,

oxx小矩形片的面积为

R2x2x定积分小矩形片的dP

R2x2RP R

R2x2RR

R2x2d(R2x2

2

R2

R3

0 定积分aP02(x2a)(aa

dx

解建立坐标系解建立坐标系o面积微2(aadP(x2a)2(ax)3三、引

定积分如果要计算一根细棒对一个质点的化的，且各点对该质点的引力方向也是变，就不能用此公式计定积分l2yoyyl2yoyyraMx2 l取为积分变y

2取任一小区间y,ydy]小段的质量为dy,定积分a2y2小段与质点a2y2引力F

mdya2水平方向的分力元素 k 23, (a2y2)323,22x x

2 (a2

y

a(4a2l)2221由对称性知，引力在铅直方向分力为 221四、小

定积分（注意熟悉相关的物理知识（建立适当的坐标系其 的应

lm0

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