工程力学-06轴向拉伸与压缩-jianhua

NanjingUniversityofTechnology第二篇材料力学第五章轴向拉伸与压缩轴力与轴力图内力方程一般来说，内力是截面位置坐标x的函数.

轴力图、扭矩图、剪力图、弯矩图.内力图以平行于杆件轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆件轴线的坐标表示相应截面上内力的数值.+表示轴力沿杆轴线方向（随x坐标）变化的函数成为轴力方程，相应的内力图，称为轴力图轴力的正负号规定：FNFN－轴向拉压杆件在其任一横截面上只有轴向力内力分量，故对轴向拉压杆件而言，其内力方程中只有轴力方程，内力图中只有轴力图

绘制轴力图的方法与步骤如下：采用静力平衡方程确定杆件的约束力；

根据杆件上作用的载荷以及约束力，对杆件分段

在每段中，应用截面法，对截开的部分杆件建立平衡方程，确定截面上的轴力，建立轴力方程；

建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值或轴力方程标在坐标系中，画出轴力图。

求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图.解：10KNFN11110KN15KNFN22220KNFN33311223310KN15KN15KN20KNN110kNF=N25kNF=-N320kNF=-例题轴力图⊕11223310KN15KN15KN20KNFN10KN5KN20KNFFFN1N2N310520==-=-kNkNkN※讨论：

轴力FN

在通过轴向集中载荷作用面时的跳跃问题。

上例中是否具有轴力方程？

上例中若假定杆件的横截面积为A，材料密度为，那么杆件的轴力图又会怎样？拉、压杆件横截面上的应力轴向拉压杆件横截面正应力yxzdAσxFNx

因此理论上可计算得到正应力分布函数，从而求出横截面上任一点处的正应力

为了获得分布函数，可依据拉压杆件变形的平面假设平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，仍为横截面。PPP因此在任一横截面上在线弹性范围内讨论上述公式的适用范围？线弹性、小变形、缓变杆，指定横截面上述公式的通用表达形式？在拉压杆件中，若非等截面杆则若则那么，max？例题

变截面直杆，ADE段为铜制，EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB＝10×102mm2，BC段杆的横截面面积ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。解：1、

作轴力图

应用截面法，可以确定各段上的轴力分别为：FNAD＝－2FP＝－120kNFNDE＝FNEB＝－FP＝－60kNFNBC＝FP＝60kN

2、计算直杆横截面上绝对值最大的正应力

由于杆件为分段等直杆，故可在AB和BC段内分别求出其段内max

悬臂吊车，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，起吊重物Q=15KN，求AB的最大工作应力。AQBC0.8m1.9m例题解：1）分析AB受力、并求其内力:当Q移到A点时AB杆受力最大，取结点A研究B0.8mACQ1.9mAFNFNFNQFNABFNAC2)求AB杆的最大工作应力：

其最大工作应力为横截面上的应力

请思考B0.8mACQ1.9m1、Q位于A点时，AB、AC为何种变形？2、Q移至AC中任一位置时，有何变化？

长为b，内径d=200mm，壁厚t=5mm的薄壁圆环，承受p=2MPa的内压力作用，试求圆环径向截面上的拉应力。2005p例题解：

由圆环受力和变形的对称性可知，在圆环的任何径向截面上，作用有相同的法向拉力FNmmnnFNFNRydFN=p·b·d/2由于壁厚远小于内径，可近似认为m-m、n-n上各点处正应力相等。=FN

/A=p·b·d/(2·b·t)=p·d/(2·t)=2·106·0.2/(2·0.005)=40MPa

圣维南原理及应力集中圣维南原理

集中载荷或其它非均匀分布载荷作用点处会出现非均匀变形，从而导致非均布应力场的出现区别？如图，杆端局部变形，不能满足平面假设，轴向拉压杆件正应力计算式不适用圣维南原理（Saint-Venantprinciple）：如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远处，静力学等效对应力分布的影响很小，可以忽略不计。

几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为应力集中（stressconcentration）。

应力集中

应力集中处横截面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应力值（称为名义应力）之比，称为应力集中因数可以讨论应力集中的好坏拉压杆件斜截面上的应力

在拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的剪应力有关。

在轴向均匀拉压情形下，可认为斜截面为均匀变形，其上的正应力和切应力都是均匀分布的。※拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的微元而求得。微元斜面上的应力就是过一点处不同方向面的应力。故当论及应力时，必须指明是哪一点处、哪一个方向面上的应力。

轴向拉压杆件斜截面上则既有正应力又有剪应力，且不同倾角的斜截面，其值各不相同在＝0的截面（即横截面）上，取最大值，即

在＝45°的斜截面上，取最大值，即且正应力为那么当＝90°时，情况有会如何呢？说明了什么？

材料的力学性能

材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特性，称为材料的力学性能。材料的力学性能主要通过实验得到材料轴向拉压实验是力学性能实验中的基础实验。金属材料的一般力学性能主要通过该实验获得

金属材料在常温静载下的力学性能实验条件：常温、缓慢平稳加载（静载）标准试件：标距l

通常取l＝10dl＝5d长试样短试样圆棒试样板试样

将给定的材料做成标准试样，在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验

试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。

脆性材料拉伸时的性能曲线工程塑料拉伸时的性能曲线韧性金属材料拉伸时的性能曲线P

Q235钢试件的拉伸图

低碳钢的拉伸性能低碳钢—含碳量在0.3%以下的碳素钢载荷－变形图（P－∆l图）令名义应力名义应变弹性阶段

oab

这一阶段可分为：斜直线Oa和微弯曲线ab，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。Oa段：应力与应变成正比。直线oa为线弹性区比例极限弹性极限应力与应变之比称材料的弹性模量（杨氏模量）E，几何意义为应力--应变曲线上直线段的斜率。泊松比的概念？c屈服阶段bc屈服极限s为下屈服极限上屈服极限下屈服极限屈服阶段体现了材料的塑性流动特征，原因？屈服极限s反应了什么？金属材料的塑性流动可通过滑移线看出表面抛光的不锈钢板在轴向拉伸时的滑移线

强化阶段中材料又具有了一定的抵抗变形的能力，虽然其中绝大部分是塑性变形强度极限b强化阶段cd强度极限反应了什么？颈缩阶段de比例极限p屈服极限s强度极限b其中E、s和b是衡量材料强度的重要指标弹性模量E延伸率:ll1

通过拉伸试验还可得到衡量材料韧性性能的指标——延伸率和断面收缩率：

d1d断面收缩率:塑性材料：延伸率＞5%脆性材料：延伸率＜5%※

卸载定律冷作硬化：常温下把材料预拉到塑性变形阶段，然后卸载，再次加载时，材料的线弹性范围将增大，使材料比例极限提高，而塑性降低。材料在卸载时应力与应变成直线关系残余应变（塑性应变）冷作时效：拉伸至强化阶段后卸载，过一段时间后再拉，则其线弹性范围的比例极限还会有所提高冷作硬化现象经过退火后可消除其它材料的拉伸性能

对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生0.2％的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用σ0.2来表示灰口铸铁的拉伸实验

没有屈服现象和颈缩现象,只能测出其拉伸强度极限切线模量：曲线在任意应变处的斜率，用Et表示割线模量：由原点至曲线上对应于任意应变点连线的斜率，用Es表示显然切线、割线模量是变量弹性模量割线切线金属材料压缩时的力学性能一般金属材料的压缩试件为圆柱形状低碳钢压缩时的σ-ε曲线测不出铸铁压缩时强度限要远高于其拉伸时的情况宜作受压构件※非金属材料常温静载下的力学性能

混凝土天然石料

脆性材料，一般只适用于作受压构件。受拉部分用钢筋加强岩石的单向压缩木材

各向异性材料，在工程中广泛用作柱、斜撑等承压构件。复合材料1、比强度和比刚度高2、具有可设计性

纤维复合材料的力学性能与纤维的铺设方向有很大关系，属于各向异性材料

温度对材料力学性能的影响

一般来说，金属材料随着温度的降低，强度提高而塑性降低。

固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为蠕变。

粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为应力松弛。蠕变的危害以及材料的蠕变性能、蠕变的测量和蠕变曲线密封连接中的应力松弛综上所述，衡量材料力学性能的主要指标有：

比例极限(或弹性极限)、屈服极限、强度极限、弹性模量、延伸率、断面收缩率等。对于塑性材料来说，抵抗拉断的能力较好，常用的强度指标是屈服极限。而且，一般来说，拉伸和压缩时的屈服极限相同。对于脆性材料来说，抗拉强度远低于抗压强度，强度指标是强度极限，一般用于受压构件。许用应力安全系数n>1－安全系数

即在工程实践中，人为规定的实际工作应力允许达到的最高限度材料强度失效的两种情况1、塑性材料——塑性屈服——极限应力s2、脆性材料——脆性断裂——极限应力b工程中，构件安全工作条件u－极限应力许用正应力对于塑性材料对于脆性材料那么如何选取安全系数呢？拉、压杆件的强度设计

所谓强度设计是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，且具有一定的安全裕度。对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足：

这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度条件，又称为强度设计准则

杆件的强度设计与强度条件据强度条件，可进行三种类型的强度计算：校核杆的强度 已知FNmax、A、[σ]，验算构件是否满足强度条件

设计截面 已知FNmax、[σ]，根据强度条件，求A确定许可载荷 已知A、[σ]，根据强度条件,求FNmax对轴向拉压杆件因而，其强度条件可进一步写为

螺纹内径d＝15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为FP＝20kN。若已知螺栓的许用应力σ

＝150MPa，试：校核螺栓的强度是否安全。

例题解：容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力：

FN＝FP＝20kN

螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力已知许用应力σ

＝150MPa螺栓的强度是安全的例题：图示三角形托架,其杆AB是由两根等边角钢组成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,试选择等边角钢的型号。BACP45°45°解：BACP45°45°例题

如图吊车中斜拉杆AC由两根50mm×50mm×5mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。材料均为Q235钢，许用应力σ

＝150MPa。杆和梁的自重忽略不计，当行走小车位于A点时，求：允许的最大起吊重量FW（包括行走小车和电动机的自重）。

解：如图为简化后的力学模型FW以节点A为研究对象受分析

FW

对于AB杆，查得单根10号槽钢的横截面面积为12.74cm2，因此杆横截面上的正应力由强度条件FW由此解出保证AB杆强度安全所能承受的最大起吊重量

将其代入强度设计准则，得到

解出保证AC杆强度安全所能承受的最大起吊重量

对于AC杆FW

为保证整个吊车结构的强度安全，吊车所能起吊的最大重量FW=FW2=57.6kN

拉、压杆件的变形分析

拉（压）变形计算纵向线应变与横向线应变纵向线应变横向线应变PP

在线弹性范围内，据虎克定律由于可得EA称为抗拉（压）刚度即杆件纵向变形

对于非等截面杆对于此为轴向拉压杆件轴向变形量的计算通式※杆件纵向变形

横向变形在线弹性范围内，单向应力状态下

称为横向变形系数或泊松(Poisson)比讨论2、轴力变化时：1、L的符号为“+”时伸长，为“-”时缩短3、横截面变化时：CAB阶梯状杆BCA3、变截面杆：缓变杆，锥角较小，如≤10度例题：图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力σ2=－30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△L。（不考虑应力集中）PP1230.2m0.4m0.2m解:（缩短）PP1230.2m0.4m0.2m例题

变截面直杆，ADE段为铜制，EBC段为钢制。已知：AB段的横截面积AAB＝10×102mm2，BC段的横截面积ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；铜的弹性模量Ec＝100GPa，钢的弹性模量Es＝210GPa；试求直杆的总变形量。解：作轴力图

直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和取B点研究PB例题：简单托架，BC杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。[]=160MPa，E=200GPa，P=60KN。试求B点的位移。解:N1FN2FKNPFKNPF75454543N2N1-=x-==x=（“-”表示FN2与图示方向相反，为压力）BDC4m3mP分析计算B点的位移假想把B节点松开受力后B点移到B’BDC3mP4mBPN1FN2FBDC3mP4m水平位移＝∆l1=2.15mm铅垂位移=3.9mm例题：求图示结构结点A的位移。AEAEA21PL解:取A点研究PA铅垂位移水平位移（）（）FPFN1N20==，N1FN2FAEAEA21PL例题：求考虑自重影响的等直杆变形。已知P、杆长L、A、E、容重。P解：Pxxx若已知[]求许可杆长。dxdxN(x)N(x)取微段dx研究N(x)xP+AL积分：PN(x)][:Nmaxmaxsgs£+==AALPAF由例题：图示变截面杆左右两端直径分别为D、d,作用有轴向压力P，不计杆件自重，材料弹性模量为E，杆长L。试求杆件的变形。DdPP解:取微段dx研究xdx设距左端为x处横截面的直径为d’对微段来说（缩短）比较变形法

把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件。FCBA例题杆上段为铜，下段为钢杆，上段长l1，截面积A1，弹性模量E1，下段相应为l1，A1和E2。杆两端固支，求两段的轴力拉（压）杆超静定问题求解3、比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。2、求静定基仅在原有外力作用下和仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移FCBA1、选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束，代之以约束反力RB

解超静定问题必须找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件－即满足变形相容条件（变形协调条件）。关键：变形协调条件注意：力与变形一致几何变形法例题：图示结构1、2杆抗拉刚度为E1A1，3杆为E3A3，在F力作用下，求各杆内力解:

画A点受力图，平衡分析F未知力个数3个，平衡方程数2个，故为一次超静定。①A123AxyFA213代入物理关系，建立补充方程②③

画A点位移图，列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析中设定的力的性质一致。由对称性知联立①、④求解④得例题：图示桁架，已知3根杆的材料及横截面完全相同，即EA相等。求各杆的内力及B点的水平位移和铅垂位移。L321BP解:1、确定静不定次数1次2、列静力平衡方程研究B节点3、物理关系（伸长）（伸长）（缩短）4、变形几何关系L321BP