常微分方程与运动稳定性三篇

会计学1常微分方程与运动稳定性三篇2第五章奇点第一节常点与奇点第二节一次奇点第三节非线性项对奇点的影响第1页/共79页3第一节

常点与奇点研究二维方程组(5.1)(5.2)点P(x0,y0）称为(5.1)的奇点，若:反之,如X(x0,y0),Y(x0,y0)中至少有一个不等于零，则此点称为(5.1)的常点。性质:过常点有唯一解，但奇点处解至少不唯一第2页/共79页4

由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化为原点，因而总认为原点是（5.1）的奇点。在原点邻域内将X,Y展为泰劳级数，得：(5.3)X2，Y2

----所有二次项以上的全体.则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。(5.4)如果第二节一次奇点第3页/共79页5(5.5)研究以下线性系统特征方程是(5.6)其特征根为(5.8)(5.7)其中第4页/共79页6(5.9)通过非奇异线性变换，可将(5.5)化为：(1)q

<0,此时λ1,λ2异号

其解为设λ1>0，λ2<0,则其轨线在原点领域的分布情况如图所示，这样的奇点为鞍点。根据特征根的各种可能情况，对奇点进行分类：oxy图5.1p16p17p30第5页/共79页7ox图5.2yλ

1，λ

2为相异负实根若λ2<λ1<0，则积分曲线在原点与x轴相切，如图示。反之，若λ1<λ2<0，则积分曲线在原点与y

轴相切。

——

奇点称为稳定结点对于q>0，p<0，p2－4q>0，λ1、λ2为相异正实根，积分曲线方向远离原点。

——奇点为不稳定结点p17p20p16第6页/共79页8

q>0，p>0，p2－4q<0，λ1,λ2为共轭复根且实部为负。令λ1,λ2＝－u+iv，其中u>0,v>0，将(5.5)化为：(5.10)x图5.3yo再变换x=rcosθ,y=rsinθ(5.10)(5.11)其解为r=r0e-ut，θ=θ0+vt，相应的轨线如图

——奇点为稳定焦点q>0,p<0,p2-4q<0:λ1,λ2为共轭复根但实部为正

——奇点为不稳定焦点p17p16第7页/共79页9(a)

初等因子是简单。(5.5)可化为：(5.12)（4）q>0,p>0,p2-4q=0,λ1λ2为一对负重根。这又可分为两种情况；y图(5.4)x0其轨线形状如图-----稳定临界结点.其解为

(b)初等因子是重的。(5.5)可化为：p17(5.13)p16第8页/共79页10

所有轨线在原点均与轴相切，如图所示。—稳定退化结点yxoxoy图5.5当当q>0,p<0,p2－4q=0:λ1,λ2

——

一对正重根

不稳定临界结点和退化结点p17第9页/共79页11(5)q>0,p＝0:λ1＝-λ2＝vi,为一对共轭纯虚根将(5.5)化为：(5.14)其解为r=r0,θ=θ0+vt,其轨线如图

------奇点称为中心图5.6xoy第10页/共79页12奇点分类如下：

q<0,两根异号―鞍点;

q>0,p>0,p2-4q>0,两根相异负实根―稳定结点;q>0,p>0,p2-4q=0,两根为相等负实根―临界结点或退化结点。q>0,p<0,p2-4q>0,两根为相异正实根―不稳定结点;q>0,p<0,p2-4q=0,两根为相等正实根―临界结点或退化结点;q>0,p<0,p2-4q0,两根为共轭复根，实部为负―稳定焦点;q>0,p<0,p2-4q<0,两根为共轭复根，实部为正―不稳定焦点。q>0,p＝0,两根为共轭纯虚根―中心.第11页/共79页13稳定临界结点或退化结点po图5.7q不稳定焦点稳定焦点中心不稳定临界结点或退化结点不稳定结点稳定结点鞍点高次奇点高次奇点p2－4q=0汇源第12页/共79页14第三节非线性项对奇点的影响(A1)X2，Y2

----所有高于二次项的全体.研究以下非线性系统相应的线性系统(A2)

则原点（零解）若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点，也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点（解的结构相同），且稳定性保持不变；但(A2)的临界或退化结点，对(A1)来说其结构可能发生变化。若满足：(A3)第13页/共79页15定义2：设O(0,0)

为孤立奇点，若点列

An(rn,θn)，当n→∞时，rn→0,θn→θ0,且αn→0，αn为An点的方向场向量与向径夹角的正切，称θ=θ0为特征方向。

显然，若θ=θ0为固定方向，则必为特征方向ArθO3.1奇点的性质定义1：设L

为轨线,其上的点A(r,θ),当r→0时,θ→θ0（t→∞

），称L沿固定方向进入奇点O(0,0).鞍点：0，/2,3/2，结点：0，/2,3/2，焦点：无退化结点：/2,3/2

或0，临界结点：任意方向p7p8p9p10p11θ0第14页/共79页16定义3：轨线L与θ=θ0相交于P,若P点向径与方向场夹角为:0<

αp<

,则为正侧相交；

<

αp<2,则为负侧相交。

/2

<

αp<3/2,则为正向相交；-/2

<

αp<

/2,则为负向相交。①②③④O①正侧正向②正侧负向③负侧负向④负侧正向第15页/共79页17定义4：O为奇点，扇形域由OA,AB与弧AB围城，称为正常区域，上满足：除点O外没有其他奇点,OA,AB为无切线段;任意点的向径与方向场向量不垂直；最多包含一个特征方向,但OA,AB不是特征方向.结论：轨线L与OA(或OB)

相交只能是同侧同向：即：0‾

或

‾2。因此有三类正常区域：OABOABOABIIIIII第16页/共79页18OABOABOAB结论：轨线L与OA(或OB)

相交只能是同侧同向：即：0‾

或

‾2。因此有三类正常区域：IIIIII引理：若Δ为正常区域I

，从OA,AB与AB上出发的轨线都进入O（当t→∞时）;若Δ为正常区域II,AB上有一点或一段闭弧，从其上出发的轨线都进入O（当t→∞时）;若Δ为III,有两种情况:(1)没有轨线进入O;(2)POA或AB:

POA时,OP上出发的轨线都进入O;PAB时,QOAAP,从Q出发的轨线都进入O第17页/共79页19其中F2，G2是x,y二次以上的函数,且满足(A3)

。令x=rcosθ,y=rsinθ，运算可得:(A5)(A6)(A4)考虑结点为稳定时，非奇异变换，将(A1)

化为：1.结点情况p7dθ/dt=0θ

=0,/2,,3/2----特征方向第18页/共79页20oxy1,

2

–微小量；∵λ2<λ1

<0

r

0

dr/dt0.ε1ε2④①②③①,③--正常区域II;

②,④--正常区域I

结论：当1

→

0,①,③内只有一对轨线当t→

∞时沿y轴方向趋于原点；其余轨线则均沿x方向趋于原点。原点为稳定结点。p8总之，若线性奇点为结点，加上非线性项之后仍为结点，并且稳定性保持不变。p8第19页/共79页21鞍点情况两特征根均为实根：设λ1<0,λ2>0(A7)(A8)

④①②③xyI,III象限内II,IV象限内

=0,/2,,3/2

――

特征方向第20页/共79页22鞍点情况两特征根均为实根：设λ1<0,λ2>0εε④①②③xyI,III象限内II,IV象限内θ

=0,/2,,3/2----特征方向①,③--正常区域II(t→∞)

②,④--正常区域II

(t→-∞)oxy结论：当ε→0,①,③内只有一对轨线沿y轴趋于原点(当t→-∞时);②,④内只有一对轨线沿x轴趋于原点(当t→∞时).原点为鞍点第21页/共79页23焦点与中心的情况焦点情况与结点、鞍点相似：线性部分为焦点时，加上非线性项仍为焦点且稳定性不变;对于线性部分为中心的情况，加上非线性项后，可能依然为中心，但也可能变为（不）稳定焦点;例：线性部分为中心x=rcosθ

y=rsinθ可见：中心稳定焦点不稳定焦点第22页/共79页24引理：系统(A1)的原点为中心的充分必要条件：存在与时间无关的正则积分：Fi–i

次齐次多项式

若满足:X(-x,y)=X(x,y)Y(-x,y)=-Y(x,y)对于：(A8)(8)的轨线对称于y轴若满足:X(x,-y)=-X(x,y)Y(x,-y)=Y(x,y)(8)的轨线对称于x轴yx(A1)第23页/共79页25能否给出判断稳定性的依据??---问题实质:如何确定奇点的性质与（A9）系数之间的关系。(A9)Arnold

问题（1976年）对于方程组：齐按照线性部分特征根的不同情况进行讨论.第24页/共79页26

分为以下几个方面：

两特征根为实根或共轭负根，此时奇点将为稳定或不稳定结点，焦点或不稳定鞍点;两特征根为一对纯虚根，线性奇点为中心，加上高次项后，为中心或焦点;两特征根一是零根，另一个正实根，奇点为不稳定;两特征根一是零根，另一个负实根，这是所谓Lyapunov第一临界情况;两特征根全为零根，又可分为两种情况:

初等因子是简单的，化为齐次方程研究;

初等因子是非简单的，奇点为不稳定。第25页/共79页27

第一节保守系统的基本性质

第二节带有参数的保守系统

第三节耗散系统

第四节轨线的作图法第六章相平面法第26页/共79页28

第一节保守系统的基本性质一、保守系统

----能量（机械能）保持守恒的系统。单自由度系统的运动微分方程：其积分曲线方程(轨线方向):(6.3)p32由(6.2.),系统的奇点为：y=0，f(x)=0(6.4)——系统奇点（若有的话）分布在x轴上第27页/共79页29由(6.3)，当f(x)=0,y≠0时，有＝0，即轨线切线水平。由（6.3）求得积分曲线的方程：h为常数----其力学意义为机械能守恒(6.5)在h

–V(x)≥0

的x

区间内才有积分曲线（6.6）（6.5）V’(x0)=f(x0)=0---系统奇点x0对应势能的极值其积分曲线方程(轨线方向):(6.3)第28页/共79页30在奇点x0邻域内将V(x)展开为泰劳级数(取到二次项):积分曲线方程（6.5）化为(6.8)(6.7)V˝(x0)>0

V(x0)

—极小值(6.8)

—椭圆方程奇点x0

为中心；V˝(x0)<0

V(x0)

—极大值(6.8)

—双曲线方程，故奇点为鞍点;V˝(x0)=0

V(x0)

—非极大极小拐点，此时,若V

(3)(x0)≠0,积分曲线可近似表示为p7第29页/共79页31图6.1V(x),yxoV(x)(6.9)对应中心鞍点型奇点:

一半中心，一半鞍点（高次奇点---线性部分的特征根出现零根）。将(6.2)中的f(x)也在这一点邻域内展开，得：第30页/共79页32在一般情况下,对于V(n)≠0,当n为偶数时V为极值，当n为奇数时V为拐点。积分曲线为较复杂的高次曲线，如图(6.2)所示(y>0,x’>0;y<0,x’<0)V(x)oxV(x)图6.2yp28第31页/共79页33方程中不含速度项，为保守系统(机械能守恒)；方程中含有速度项，而速度项前的系数为常数或定号函数，为非保守系统；方程中含有速度项,而速度项前的系数是变号函数，则不能确定是否保守系统。zxo图6.3Mz=f(x)例：质点M沿绕铅直轴z以角速度ω旋转的导轨z=f(x)滑动，由Lagrange

方程推得质点运动方程(6.10)--速度项系数是变号函数。但是(6.10)有能量积分(6.11)m-质量，h-常数。(6.10)为一保守系统。第32页/共79页34其运动微分方程一般为(6.12)（6.13）的奇点：(6.14)(6.13)第二节带有参数的保守系统第33页/共79页35f(x,λ)=0,在平面内为一曲线，如图(6.4)xo图6.4假定阴影区:f(x,λ)<0

；其他区：f(x,λ)>0可看出，当参数λ增大时，奇点数目随之变化。f(x,λ)>0λ第34页/共79页36如令(6.15)则得(6.13)的积分曲线方程为：(6.16)由于Vxx”(x,λ)

=fx’(x,),因而在奇点x处：Vxx”(x,)

>0

(fx’(x,)>0)时，V-极小中心；Vxx”(x,)<0

(fx’(x,)<

0)时，V-极大鞍点；Vxx”(x,)=0，但Vxx”’≠0时中心鞍点。与不含参数的保守系统相同第35页/共79页37xo图6.4f(x,)>0λaa-中心(λ=λ1)

沿x增加方向看f(x,)的变化，判断fx’(x,)的符号bb-中心;c-中心鞍点(

=2)cded-中心鞍点;e-中心(

=

3)hgff,h-中心;g-鞍点(

=

4)iji-中心;j-中心鞍点(

=

5)2<<3:中心,鞍点,中心

>5:中心2,3,5–分岔点(奇点数目变化)f(x,λ)<0第36页/共79页38OMZmgr图6.5解:由质点的动量距定理，可得小球的运动微分方程为例1.一质量为m的小球，可沿一半径为r的大环滑动，此大环以匀角速度绕铅直轴而转动。设小球与大环之间无摩擦，试研究小球的运动.(6.17)(6.18)第37页/共79页39曲线如图(6.6):阴影区---f(φ,λ)<0;其余区域---f(φ,λ)>0。O1-1图6.6p-平衡位置:=0,φ=(0,±),

当|

|>1时;

=0,φ=(0,±,±cos-1

),当||<1时。(6.19)令cosφ=sinφ=0第38页/共79页40相平面内轨线的分布情况（φ：-π

π

）：ω1O-1p-A同宿轨道异宿轨道B中心鞍点|λ|<1第39页/共79页41此时共有三个鞍点(φ=0,±π)与两个中心(φ=±cos-1λ);A,B分别为通过ω=0,φ=0与ω＝0，φ=±π

的分界线，其方程为(6.20)第40页/共79页42耗散系统属于非保守系统，其运动微分方程通常可表示为第三节

耗散系统(6.21)满足(6.22)当当将各项乘以得然后作对应上下限的积分，得(6.23)第41页/共79页43这表明，系统的能量是时间的单减函数。(6.24)对(6.23)求导(6.21)(6.25)------由(6.22)知y=0时g(x,y)=0，因而耗散系统(6.25)的奇点分布，与和它对应的保守系统的奇点分布相同，但奇点的性质却可能改变(中心变成焦、结点)。第42页/共79页44例2.考虑阻尼作用单摆的运动。耗散项：对应的保守系统为共有三个平衡位置(中心，鞍点)：由于，故系统为耗散系统。-焦点第43页/共79页45例3.研究系统(6.26)其中α>0,g(φ)在[-π,π]上连续，且为2π的周期函数，g(0)＝0，g(0)’≠0,当φ≠0时φg(

φ)>0

，g(π)=0。

显然，这是较例2更为一般情况，此时系统由三个奇点:ω=0，φ=0，±π，而且φ＝0为稳定焦点或结点，φ＝±π为鞍点。第44页/共79页46(1)等倾线法第四节轨线作图法(6.27)(6.28)令(6.29)－－等倾线令k等于一系列不同的数值，得出一系列等倾线，在每一等倾线上画出相应的dy/dx的方向，然后用欧拉折线法便可大致描出轨线的图形。第45页/共79页47例:令k1k2k3第46页/共79页48(2)Liénard作图法适用于有以下形式的微分方程(6.34)(6.34)在相平面上积分曲线方程为(6.35)为了得到坐标为（x,y）的任意点A处积分曲线的切线方向，先在相平面上做出曲线(6.36)A(x,y)

B(-Ф(y),y)

CAE(

AC)第47页/共79页49直线CA的斜率为yxyxBODCA(x,y)E图6.11它与(6.35)dy/dx的乘积等于-1,因而(6.35)积分曲线在A点的切线方向应与CA垂直。A(x,y)

B(-Ф(y),y)

CAE(

AC)第48页/共79页50

例4

受有干摩擦力与线性恢复力的振动系统，其运动微分方程为为了应用Liénard作图法，需使x的系数等于1。为此，作变换，即可将上式化为:yxo然后，利用Liénard作图法，可以证明它的积分曲线为一系列半圆所组成，这些半圆在x轴上相连接，其圆心为如图所示。第49页/共79页51第七章

极限环

第一节前言

第二节极限环的存在性

第三节极限环的唯一性

第四节极限环的稳定性第五节判断极限环不存在的定理第50页/共79页52第一节前言对于微分方程的积分曲线而言，它存在一条孤立的单闭曲线，而在其领域内的其他积分曲线，均以螺旋线形式向该闭曲线无限逼近，则这条闭曲线称为极限环。力学意义：孤立周期解例1(7.1)极坐标形式(7.2)第51页/共79页53由此可见，r=0即x=y=0是一个奇点;而r=1即x2+y2=1是一个周期解.而其它积分曲线都是螺线，即：当t→∞时θ→∞.对于r>1，有：故r单调减少而趋于1;xyO因而闭曲线x2+y2=1是稳定的极限环(7.2)故r单调增加而趋于1,对于r<1有:第52页/共79页54例2(7.3)其积分曲线形状见图;

单闭曲线x2+y2=1是不稳定极限环。(7.4)xyO第53页/共79页55

对于yOx其积分曲线形状见图。单闭曲线是半稳定极限环(即一侧不稳定另一侧不稳定)解的稳定性（Liapunov）轨道稳定性

？未扰扰动t0t1第54页/共79页56图7.4环域定理设在x-y平面上有两个单闭曲线C1及C2在C1内部。并满足下面两个条件(图7.4)：(1)C1上之点的矢量场由C1的外部指向内部,C2上之点的矢量场由C2的内部指向外部;(2)C1及C2所围成的环行区域内无奇点;则在该环域内至少存在一个稳定极限环C:

C1CC2第二节极限环的存在性

（Poincaré-Bendixson环域定理）C1一个C:稳定;二个C:一个稳定，一个半稳定；三个C:中间稳，两边半稳；或中间不稳，两边半稳第55页/共79页57(7.7)

以vanderPol方程为例说明环域定理的应用。方程的形式为令则上式可化为：(7.8)(7.9)再令x=y1,y=-x1,(7.8)第56页/共79页58或去掉下标将上式写为(7.10)(7.11)可见，它与(6.35)完全相同，所以其轨线方向可以用Liénard作图法求出。先在相平面上做出曲线:x=-

(y)第57页/共79页59为应用环域定理证明vanderPol方程存在稳定的极限环,先做环域的内境界线Γ2:由此得：如果取r2充分小,可使y2<3,从而有这表明(7.10)的轨线均由Γ2的内部穿向外,如图(7.5)所示。dr2dt>0第58页/共79页60xy图7.5下页下下页第59页/共79页61环域的外境界线Γ2的构造：画曲线为极值点上页为中心的圆弧：A1B1

,C1D1-----B1C1，B2C2则为二水平直线段为中心的圆弧：A2B2

,C2D2画以3.现证明，当中的y充分大时，这样作出的Γ2可使只证明一个不等式(Γ2--原点对称):第60页/共79页62C2D2圆弧半径当y充分大时----只要|y|足够大，总可以满足用Liénard作图法容易得出，在Γ1上的轨线均是自外部指向内部。又(7.10)只有唯一的奇点－－原点，因而Γ2，Γ2构成的环域内无奇点：vdP方程在该环域内至少存在一个稳定极限环。上页第61页/共79页63―――考虑Lienard方程第三节极限环的唯一性定理1.

(7.12)有唯一的稳定极限环，若满足：Lienard方程是指下形方程(7.12)g(-x)=-g(x),当x≠0时：xg(x)>0(2)

对一切x

，f及g连续,且g满足Lipschicz条件(3)

设当x→±∞时F→±∞;(4)

在x正半轴上F有唯一的零点x=a

(当0<x<a时，F(x)<0;x>a时F(x)单调增加)。第62页/共79页64(7.13)证：(1)引入变换,则(7.12)化为(2)首先证(7.13)对一切(x,y)满足Lipschitz条件事实上,对|x|<A,|y|<A,由于f连续,故有上界m。如此由中值定理得又由条件(2)知第63页/共79页65这里取k=m+n+1。上式表明(7.13)的确满足Lipshitz

条件，因此它的解存在且唯一。

此外，由于y-F(x)=0与g(x)=0只有一个解x=0,y=0，故原点是(7.13)的唯一奇点。第64页/共79页66(3)令由条件(1)知：G(x)>0,因而取(7.14)则V是定正函数又(7.15)根据g,F的性质,可知当0<|x|<a时有-gF>0,

故原点不稳定.第65页/共79页67

(4)(7.13)的积分曲线满足方程(7.16)由此，在y轴上轨线具有平行于x轴的切线，而在曲线L：y=F(x)上，轨线具有平行于y轴的切线。(5)设轨线lb与曲线L相交于B点,以b表示B点的横坐标。由于在0≤x≤b内有:故当t减少时lb之值将增加而进入曲线L的上方，从而同时有第66页/共79页68xyADPBL:y=F(x)bQKMaCEO图7.6第67页/共79页69这表明当t减少时x也减少。综上所述可知当t减少时，由B出发之轨线lb必与y轴的正半轴相交，否则将在y轴附近出现无限大斜率：与在y轴轨线具有水平切线相矛盾。设上述交点为A。同理可证当t增加时lb必与y轴的负半轴相交设相交点为C(参看图7.6)。(6)现证|OA|=|OC|是lb为闭轨的充要条件。事实上以(-x,-y)代(x,y)方程(7.13)不变,故其积分曲线对原点对称。因此，如|OA|=|OC|，则lb必闭，反之，如lb为必轨但却有|OA|≠|OC|则由于积分曲线对原点对称性，故必存在另一闭轨lb’，且lb’

与lb必相交，而这与(7.13)解的唯一性相矛盾。由此可见,如为闭轨,则必有|OA|=|OC|。第68页/共79页70此外，由(7.14)知因而条件|OA|=|OC|就与V(A)=V(C)等价。拘此可得结论如下：lb为闭轨的充要条件是V(A)=V(C)。

(7)

现研究沿(7.13)的轨线V的改变情况。由(7.15)知：(7.17)

因而有令:(7.18)第69页/共79页71则：如果则F及dy均小于零,因而有Ф(b)>0V(C)>V(A)因此lb不可能是闭的。下面研究的情况，如令由(7.17)知当dV=Fdy。当x<a时F>0与dy<0,因而Ф2(b)<0而当x>a时F>0与dy<0,因而Ф2(b)<0。现进而研究当b改变时Ф(b)的变化情况。当b增大时AD上升而EC下降,因而对于同一的x值而言,其|y|之值将增大。第70页/共79页72又对于弧AD

而言，y-F(x)>0，故y增加时将使|y-F(x)|增加，对于弧AC

而言，y-F(x)<0，故y增加时也将使|y-F(x)|增加，又