变化率与导数优质课比赛

会计学1变化率与导数优质课比赛问题1气球膨胀率

在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?

结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.（一）平均变化率当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?第1页/共23页问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系

如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,思考：求t1到t2时的平均速度．

第2页/共23页平均变化率令Δx=x2–x1

,Δf=f(x2)–f(x1),则第3页/共23页oxy容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.称该比值为曲线在B,C之间这一段平均变化率.●B●A●C说明:(1)平均变化率就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.（以直代曲思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚第4页/共23页平均变化率一般的，函数在区间上的平均变化率为

其几何意义是表示曲线上两点连线(即曲线割线)的斜率结论：例1、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.

第5页/共23页例2、已知函数f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001].

432.12.001（5）[0.9,1]；（6）[0.99,1]；（7）[0.999,1].变题:1.991.91.999思考:为何趋近于2呢？2的几何意义是什么？数学应用xyp13第6页/共23页（二）、导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

又如何求瞬时速度呢?第7页/共23页

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度第8页/共23页Δt

<0时，在[2+Δt,2]这段时间内Δt

>0时,在[2,2+Δt

]这段时间内当Δt=–0.01时,当Δt=

0.01时,当Δt=–0.001时,当Δt=0.001时,当Δt=–0.0001时,当Δt=0.0001时,Δt=–0.00001,Δt=0.00001,Δt=–0.000001,Δt=0.000001,

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?…………第9页/共23页

当Δt趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值–13.1.

从物理的角度看,时间间隔|Δt

|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2

时的瞬时速度是–13.1.表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度第10页/共23页探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=

x0处的瞬时变化率怎样表示?第11页/共23页定义:函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=

x0处的导数,记作或,即求导数一般方法：一差、二比、三极限第12页/共23页

题1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得

在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.第13页/共23页例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.典例分析第14页/共23页练1:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx第15页/共23页

1.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.第16页/共23页PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.第17页/共23页

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.注意,曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关；

(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。第18页/共23页例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.第19页/共23页例2:已知曲线上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.练习:求曲线上一点P(1,-1)处的切线方程.答案:y=3x-4.第20页/共23页

yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.(2)点P处切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.练习：如图已知曲线上一点求(1)点处的切