大数定律与中心极限定理

会计学1大数定律与中心极限定理二、大数定律

讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义例1

掷一枚均匀分币，出现正面的概率为1/2.例2

测量一个长度为a的物体,算术平均数逐渐稳定到a.大数定理:就是以确切的数学形式表达大量重复出现的随机现象的统计规律.第1页/共21页

定义5.1.1设{Xn}是一随机变量序列，若对任意有成立，则称依概率收敛于X.记为定理5.1.2设{Xn}是一随机变量序列，若成立，则称随机变量序列服从大数定律.第2页/共21页二、大数定律

定理1（切比雪夫大数定律）设X1,X2,…,Xn是一列相互独立的随机变量序列，若存在常数C，使得则对任意的有

证明

则令由切比雪夫不等式，有证毕第3页/共21页

定理2(切比雪夫大数定律的特殊情况)相互独立且具有相同的数学期望

和方差:则对于任意的有此时称依概率收敛于记为设第4页/共21页

定理3(伯努利大数定律)设nA是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为,则对于任意的有即频率依概率收敛于概率即第5页/共21页证明令由于故由定理2,知有并且第6页/共21页

定理4（Markov大数定律）设是一随机变量序列，若则对于任意的有

证由切贝晓夫不等式得第7页/共21页

例5.1设{Xn}是一独立随机变量序列，若则称服从大数定律.

证由Markov大数定律得证.

从而第8页/共21页

定理5（辛钦大数定律）设独立同分布，数学期望均为,则对于任意的有或第9页/共21页第二节中心极限定理

中心极限定理揭示了正态分布的普遍性。

定理1(林德伯格-列维中心极限定理)设独立同分布,且则对于任意的实数x,有

由该定理,当n很大时,就可以认为近似服从正态分布.第10页/共21页

定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设nA是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为则对于任意的实数x,有证明令由于并且故由定理1，得证.第11页/共21页根据该定理，若则当很大时，有第12页/共21页

例1

将一枚硬币连续的抛掷1000次,分别计算出现正面的次数大于530,550的概率.解设X为出现正面的次数,则有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有同理第13页/共21页

例2

某车间有同型号的机床200部,每部机器开动的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产?解设表示某一时刻机器开动的台数,则设电厂至少要供应个单位的电能,则由题意,有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有第14页/共21页查表得,应有故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.第15页/共21页第16页/共21页第17页/共21页

例4

一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱的平均重50千克，标准差5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997.解设是装运的第箱的重量,是所求得箱数,有条件可知,可以把看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量是独立同分布的随机变量之和.由林德伯格-列维定理,由题意知并且要求满足第18页/共21页所以必须满足即最多可以装98箱。第19页/共21页概率论中的关键词

随机试验,样本空间,事件,频率,概率,等可能概型,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,独立性,伯努利概型;

随机变量,分布函数,分布律,概