大学物理矢量

会计学1大学物理矢量在二维情况下:OXY如果和,则有:显然:第1页/共111页矢量的加法:两个矢量相加矢量的减法:两个矢量相减

差矢量方向：减数终端→被减数终端第2页/共111页,,

矢量的内积（点乘、标乘）：

矢量的外积（叉乘、矢乘）：大小：方向：右手螺旋法则第3页/共111页点乘的微分叉积的微分若第4页/共111页（二）“Δt”和“dt”的含义当时间由t时刻增加了一定时间间隔时，通常会表述为时间增加到时刻。符号“

”一般表示改变量或者增加量。如果该值为正，则表明增加；反之，则表明减少。当改变量为无限小量，如时，符号“

”通常会改写，记为“

”。第5页/共111页1

求平面图形的面积一、问题的提出会求梯形的面积，

曲边梯形的面积怎样求？若会，则可求出各平面图形的面积。考虑如下曲边梯形面积的求法。abxyo（三）积分的含义第6页/共111页abxyoabxyo思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。

一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似曲边梯形面积：第7页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第8页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第9页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第10页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第11页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第12页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第13页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第14页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第15页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第16页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第17页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第18页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第19页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第20页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第21页/共111页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第22页/共111页曲边梯形面积的计算：第23页/共111页曲边梯形面积的近似值为有，小矩形面积和第24页/共111页被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第25页/共111页1-0内容提要1-1参考系坐标系物理模型1-2运动的描述1-3相对运动本章目录第26页/共111页力学——研究机械运动及其规律的物理学分支。按研究内容分类

运动学——研究物体运动的规律

动力学——研究物体运动的原因

静力学——研究物体平衡时的规律力学第27页/共111页机械运动平动：物体各点的运动情况完全相同。转动：物体各点绕轴作圆周运动。振动：物体各点相对平衡位置作往复运动。实际物体的运动往往包含两种或两种以上运动形式的叠加：如汽车的行进、子弹的飞行、大分子的热运动等等。注意：机械运动：宏观物体之间（或物体内各部分之间）相对位置的变化。第28页/共111页斗转星移，海陆变迁

电子饶着原子核运动铁生锈，事物腐烂离离原上草，一岁一苦荣少小离家老大还，乡音无改鬓毛衰小时四条腿，长大两条腿，老了三条腿奴隶社会-封建社会-资本主义社会-社会主义社会……人类社会也是不停运动结论：世界上一切事物都处于运动和变化中自然界是不停运动的广义运动一、运动的绝对性和相对性第29页/共111页v地日＝30kms-1观察表明：绝对性：第30页/共111页结论：一切运动都是绝对的，但是只有讨论相对意义上的运动才有意义。相对性：第31页/共111页二、参考系

为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.

选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性.常用的参考系有：

地面参考系、地心参考系、太阳参考系、实验室参考系等等选取原则：

使问题的研究最方便、最简单第32页/共111页三、坐标系为定量地描述物体位置而引入。常用的有直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球面坐标系或柱面坐标系等。

直角坐标系P*P*自然坐标系第33页/共111页

如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）来处理.

四、物理模型

对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理想模型。第34页/共111页第35页/共111页

质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型

.目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考虑一些次要的因素.物体抽象为质点的条件：1.物体做平动；物体不变形，不作转动(此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动)。ABABAB第36页/共111页2.物体做转动时，所研究的距离远远大于物体本身的线度。另一类问题：把物体化为若干个质点的集合体来研究。第37页/共111页一、位置矢量运动方程位移1位置矢量*

确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量,简称位矢.式中

、、

分别为x、y、z

方向的单位矢量.1-2运动的描述第38页/共111页位矢的方向余弦PP位矢的值为1-2运动的描述第39页/共111页运动方程或分量式P如果质点是运动的，则位矢随时间不断变化，记为：

运动方程包含了质点运动的全部信息，是运动学的核心。称为运动方程注：1-2运动的描述第40页/共111页从中消去参数得轨迹方程

1-2运动的描述例如：1.2.为圆周运动为抛体运动第41页/共111页

经过时间间隔后,质点位置矢量发生变化,把由始点A指向终点B

的有向线段称为点A

到B的位移矢量,简称位移.2

位移BABA1-2运动的描述第42页/共111页

位移的大小为BA位移若质点在三维空间中运动

路程（）:质点实际运动轨迹的长度.1-2运动的描述第43页/共111页位移与路程（C）

一般情况,位移大小不等于路程.

（A）位移是矢量,路程是标量.（D）什么情况？当时.讨论（B）

P1P2

两点间的路程是不唯一的,可以是或而位移是唯一的.1-2运动的描述不改变方向的直线运动;位移反映物体在空间位置的变化，只决定于质点的始末位置,与路径无关.第44页/共111页当时第45页/共111页注意1-2运动的描述位矢长度的变化增量的大小≠大小的增量第46页/共111页3速度1）平均速度定义：在单位时间间隔质点运动所产生的位移。时间内,质点的平均速度平均速度与

同方向.BA是描述物体运动快慢和运动方向的物理量。1-2运动的描述第47页/共111页2）瞬时速度

当时平均速度的极限值叫做瞬时速度，简称速度1-2运动的描述平均速度大小若位矢对时间的变化率第48页/共111页即：质点在三维空间运动，即：说明质点的运动可以分解为各个坐标轴上的分运动。第49页/共111页瞬时速率：速度的大小称为瞬时速率，简称速率。当时，第50页/共111页当质点做曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向.即：平均速率第51页/共111页讨论

一运动质点的运动方程为，则任意时刻其速度的大小为（A）（B）（B）（B）（C）（D）1-2运动的描述第52页/共111页（2）瞬时速度的大小是否等于速率?(答案:相等)（1）速度分量Vx<0意味着什么?(答案:意味着速度方向沿x轴负向。)（3）平均速度的大小是否等于平均速率？讨论1-2运动的描述(答案:不一定相等)（4）龟兔赛跑这个寓言故事中,谁的平均速率大?谁的瞬时速率大?第53页/共111页1）平均加速度B与同方向.（反映速度变化快慢的物理量）单位时间内的速度增量即平均加速度2）（瞬时）加速度4加速度A1-2运动的描述第54页/共111页加速度大小质点作三维运动时加速度为1-2运动的描述第55页/共111页加速度的性质:加速度是瞬时矢量。大小:是速度增量的极限方向。方向:加速度分量值的正负意味着什么?正值是否意味着加速?负值是否意味着减速?（否。如ax<0意味着,加速度沿x轴分量与x轴负向一致。是否作加速运动决定于加速度和速度的关系。如物体做自由落体运动时,取向上为坐标轴正向,加速度为负。）讨论1-2运动的描述第56页/共111页例1已知质点运动函数⑸加速度函数。求:⑴质点的运动函数矢量式;⑵质点的轨道方程;⑶时间在0~2秒内的位移矢量式;⑷速度函数;1-2运动的描述第57页/共111页⑴质点的运动函数矢量式;⑵质点的轨道方程;1-2运动的描述第58页/共111页⑶时间在0~2秒内的位移⑷速度函数⑸加速度函数1-2运动的描述第59页/共111页2.一质点在xoy平面上运动，运动方程为式中t以s计，x，y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t

＝0s时刻到t

＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t

＝4s时质点的速度；(5)计算t

＝0s到t

＝4s内质点的平均加速度；第60页/共111页(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t

＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．(2)将，代入上式即有解：（1）

(3)∵∴第61页/共111页(4)则

(5)∵(6)这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。∴第62页/共111页前情提要：1.自然坐标系下：直角坐标系下：2.分量式3.增量的大小≠大小的增量第63页/共111页思考题1.判断：若质点每一秒内的平均速度都相等，则质点做匀速运动。2.一质点在xoy平面上运动，运动方程为则质点作什么运动？若运动方程为呢？第64页/共111页例已知质点运动函数⑸加速度函数。求:⑴质点的运动函数矢量式;⑵质点的轨道方程;⑶时间在0~2秒内的位移矢量式;⑷速度函数;第65页/共111页⑴质点的运动函数矢量式;⑵质点的轨道方程;第66页/共111页⑶时间在0~2秒内的位移⑷速度函数⑸加速度函数第67页/共111页运动学中的两类问题

一由已知的运动方程可以求得质点在任一时刻的速度和加速度；

二已知质点的加速度以及初始条件,可求质点速度及其运动方程.1-2运动的描述第68页/共111页x=3t

，y=-4t2解将运动方程写成分量式消去参变量t，得轨道方程：4x2

＋9y＝0，这是顶点在原点的抛物线.见图1.15.由速度定义得图1.151-2运动的描述例1.4已知一质点的运动方程为

，式中r以m计，t以s计，求质点运动的轨道、速度、加速度.第69页/共111页由加速度的定义得即加速度的方向沿y轴负方向，大小为其模为，与x轴的夹角1-2运动的描述第70页/共111页例已知质点的加速度为，且t=0时刻，质点的速度和位矢分别为、求质点任意时刻的速度和质点运动的运动方程。两边积分可得：解：（1）（2）初始条件适用于所有运动第71页/共111页匀加速运动匀加速直线运动质点运动的所在的直线为x轴，只取标量式中的第一项。x0=0第72页/共111页补充：一质点作平面运动，其加速度为，设t=0时，质点由原点从静止出发。求：任意时刻的速度和位置解由可知1-2运动的描述第73页/共111页求导积分求导积分由总结：已知初始条件：第74页/共111页1匀速直线运动:质点沿一条直线运动时,其位矢、速度和加速度均沿x轴，此时可将矢量符号省略。t=0t2匀加速直线运动:初始条件：oxt时刻：第75页/共111页3自由落体运动:方向竖直向下t=0toyg初始条件：t时刻：第76页/共111页4竖直上抛运动:t=0toyg初始条件：t时刻：质点达到最高点时，第77页/共111页抛体运动一般是二维运动，其运动轨迹为抛物线。xyovx0=0,y0=0

已知条件:

t=0时，初速度为vo,抛射角为θ；

ax=0,ay=-g即：

v0x=v0cosθ,v0y=v0sinθg5抛体运动:v0θ第78页/共111页求：2.物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间T。1.在直角坐标系下,任意一t时刻物体的速度函数和位置函数。3.飞行中的最大高度Ymax

。第79页/共111页5.飞行的射程d0。

4.飞行的轨迹方程。1.运动函数和速度函数2.物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间T令y=0得解：第80页/共111页3.飞行中达到最大高度Ymax

时，vy=0。得4.轨迹方程消去方程中的参数

得轨迹第81页/共111页5.飞行的射程d0

为最大射程实际路径真空中路径

由于空气阻力，实际射程小于最大射程.求最大射程第82页/共111页注意:1.以上关于抛体运动的公式，都是在忽略空气阻力的情况下得出的。只有在初速比较小的情况下，它们才比较符合实际。实际上子弹或炮弹在空气中飞行的规律和上述公式是有很大差别的。例如，以550m/s的初速沿45°抛射角射出的子弹，按上述公式计算的射程在30000m以上，实际上，由于空气阻力，射程不过8500m，不到前者的1/3，子弹或炮弹飞行的规律，在军事技术中由专门的弹道学进行研究。2.空气对抛体的影响,不只限于减小射程。对于乒乓球、排球、足球等在空中的飞行,由于球的旋转,空气的作用还可能使他们的轨道发生侧向弯曲。3.对于飞行高度与射程都很大的抛体,例如州际弹道导弹,弹头在很大部分时间内都在大所层以外飞行,所受空气阻力是很小的。但是由于在这样大的范围内,重力加速度的大小和方向都有明显的变化,因而上述公式也都不能应用。第83页/共111页斜抛运动

当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止自由下落.试说明为什么子弹总可以射中椰子?1-2运动的描述第84页/共111页斜抛运动

为重力加速度，方向沿竖直向下，其中。取射击点为坐标原点，即O第85页/共111页1-2运动的描述第86页/共111页

吗？

讨论在Ob上截取有速度方向变化速度大小变化1-2运动的描述①②第87页/共111页O问吗？

讨论因为所以而例匀速率圆周运动所以1-2运动的描述第88页/共111页二、曲线运动的描述运动轨迹为曲线的运动描述曲线的弯曲程度：曲率k、曲率半径ρ曲率半径曲率半径越小，曲线弯曲得越厉害1-2运动的描述曲线在某一点的曲率半径ρ等于其在该点的密接圆的半径r。PP’第89页/共111页1

平面曲线运动

质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线——自然坐标。速度切向单位矢量指向物体运动方向法向单位矢量指向轨道的凹侧位移第90页/共111页加速度P1P2ACB1-2运动的描述第91页/共111页1-2运动的描述大小：a、切向加速度

ACB方向：切线方向第92页/共111页大小：方向：法线方向b、法向加速度

△△P1P2ABC第93页/共111页1-2运动的描述一般曲线运动中第94页/共111页直线运动：速度的方向不变，即一般圆周运动：匀速圆周运动：速度的大小不变，即向心加速度第95页/共111页利用自然坐标，一切运动都可用切向、法向加速度来区分：an=0a=0匀速直线运动an=0a

0变速直线运动an

0a=

0匀速曲线运动an

0a

0变速曲线运动第96页/共111页解由速率定义，有例1.5一质点沿半径为1m的圆周运动，它通过的弧长s按s＝t＋2

的规律变化.问它在2s末的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？将t＝2代入，得2s末的速率为由切向加速度的定义，得

1-2运动的描述第97页/共111页1）圆周运动的角量描述角速度角坐标角加速度AB1-2运动的描述2圆周运动角位移第98页/共111页匀角加速圆周运动注意：仅适用于角加速度为恒量情况.1-2运动的描述

若

=常量，设t=0时，＝0，＝0,可求匀变速圆周运动公式.

第99页/共111页2）圆周运动的线量描述AB速度位移加速度3）线量和角量的关系第100页/共111页

对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：

（A）切向加速度必不为零；（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；（E）若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动.讨论1-2运动的描述第101页/共111页

例质点作半径为R的变速圆周运动的加速度大小为：（1）（2）（3）（