单纯形法图解法及原理

会计学1单纯形法图解法及原理2决策变量：Xi为第i班开始上班的人数i=1,…,6目标函数：MinZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6约束条件：

X6+X1>=60X1+X2>=70X2+X3>=60X3+X4>=50X4+X5>=20X5+X6>=30Xi>=0,1=1,…,6第1页/共35页3线性规划模型隐含的假设：比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比。可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量。连续性：每个决策变量取连续值。确定性：线性规划中的参数aij,bi,ci为确定值。

第2页/共35页4第二节单纯形法原理----图解法图解法：是用画图的方式求解线性规划的一种方法。只能用于求解两个变量的LP问题第3页/共35页51）作出可行域2）作出一条目标函数的等值线3）平行移动目标函数的等值线，求出最优解图解法基本步骤：第4页/共35页6例1.数学模型

maxZ=50x1+30x2s.t.4x1+3x21202x1+x2

50x1,x2

0第5页/共35页7x2504030201010203040x14x1+3x2120由4x1+3x2120x10x20围成的区域第6页/共35页8x2504030201010203040x12x1+x2504x1+3x2120可行域同时满足：4x1+3x21202x1+x2

50x10x20的区域——可行域第7页/共35页9x2504030201010203040x1可行域O（0，0）Q1（25，0）Q2（15，20）Q3（0，40）可行域是由约束条件围成的区域，该区域内的每一点都是可行解，它的全体组成问题的解集合。该问题的可行域是由O，Q1，Q2，Q3作为顶点的凸多边形第8页/共35页10x2504030201010203040x1可行域目标函数是以Z作为参数的一组平行线x2=

Z/30-（5/3）x1第9页/共35页11x2504030201010203040x1可行域当Z值不断增加时，该直线x2=

Z/30-（5/3）x1沿着其法线方向向右上方移动。第10页/共35页12x2504030201010203040x1可行域当该直线移到Q2点时，Z（目标函数）值达到最大：MaxZ=50*15+30*20=1350此时最优解=（15，20）Q2（15，20）有唯一最优解

第11页/共35页13例2解线性规划有唯一最优解

第12页/共35页14对于线性规划问题，我们定义：可行解：满足全部约束条件的决策向量XRn。可行域：全部可行解构成的集合。（它是n维欧氏空间Rn

中的点集，而且是一个“凸多面体”)最优解：使目标函数达到最优值（最大值或最小值，并且有界）的可行解。无界解：若求极大化则目标函数在可行域中无上界；若求极小化则目标函数在可行域中无下界。

第13页/共35页15有无穷多最优解

例3解线性规划Z=0Z=-2第14页/共35页16例4解线性规划有无界解

第15页/共35页17例5：MaxZ=3X1-2X2X1+X2<=12X1+2X2>=8X1,X2>=0无可行解第16页/共35页18结论：

1、线性规划问题的可行域为凸集

2、若有最优解一定可以在其可行域的顶点上得到线性规划问题解的几种情况：

1、有唯一最优解

2、有无穷多最优解

3、无可行解

4、无最优解第17页/共35页19第三节单纯形法----原理单纯形法：单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Danzig）提出。尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对的“市场”占有率。第18页/共35页20定义1：基(基阵)——由A中一个子矩阵B是可逆矩阵，则方阵B称为LP问题的一个基。A=(P1…

PmPm+1…

Pn)=(BN)

基向量非基向量…X=(X1…

XmXm+1…

Xn)T=(XBXN)T

基变量非基变量

XB

XN…线性规划问题解的概念第19页/共35页21例1、X1+2X2+X3=303X1+2X2+X4=602X2+X5=24X1…X50121003201002001P1P2P3P4P5A=第20页/共35页22AX=b的求解A=(BN)X=(XBXN)TXBXN(BN)=bBXB+NXN=bBXB=b-NXNXB=B-1b-B-1NXN第21页/共35页23定义2：基本解——对应于基B，X=为AX=b的一个解。B-1b0定义3：基本可行解——基B，基本解X=若B-1b0，称基B为可行基。最优解、最优基B-1b0※基本解中最多有m个非零分量。※基本解的数目不超过Cnm=个。n!m!(n-m)!第22页/共35页24X1X2X3X4X5X=b=306024B=(P3P4P5)=I可逆基N=(P1P2)X3=30-(X1+2X2)X4=60-(3X1+2X2)X5=24-2X2例1：第23页/共35页25令X1=

X2=0,X3=30,X4=60,X5=24X===XN0XBB-1b00306024121又：Ｂ1=(P1P2P3)=320020|B1|=6≠0,B可逆第24页/共35页26X1=12-(1/3X4-1/3X5)X2=12-(1/2X5)X3=-6-(-1/3X4-2/3X5)令X4=X5=0X=(12,12,-6,0,0)TZ=40X1+50X2=40[12-(1/3X4-1/3X5)]+50[12-1/2X5]=1080+(-40/3X4-35/3X5)基本解，但不可行第25页/共35页27例2：给定约束条件

-X3+X4=0X2+X3+X4=3-X1+X2+X3+X4=2Xj0(j=1,2,3,4)求出基变量是X1,X3,X4的基本解，是不是可行解？第26页/共35页28

0-11解：B=(P1P3P4)=011-111

01-10B-1=-1/21/2031/21/202b=第27页/共35页29X1

X3=B-1b

X4

XB=

01-101

=-1/21/203=3/2

1/21/2023/2∴X=(1,0,3/2,3/2)T是第28页/共35页30定义1：凸集——D是n维欧氏空间的一个集合

X(1),

X(2)∈D,若任一个满足

X=X(1)+(1-)X(2)(01)

有X∈D线性规划问题的几何意义(例2)第29页/共35页31

X(1),X(2),…,X(k)

是n维欧氏空间中的k个点，若有一组数

µ1,µ2,…,µk

满足

0µi1(i=1,…,k)定义2µ

i=1ki=1有点x=µ1X(1)

+…+µk