宁夏回族自治区青铜峡市2021-2022学年高二数学下学期开学考试试题理

宁夏回族自治区青铜峡市2021-2022学年高二数学下学期开学考试试题理一．选择题：共12小题.（每小题5分，共计60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50B．40C．25D．202.已知命题﹔命题，则下列命题中为真命题的是()B.C.D.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60种B.120种C.240种D.480种4.在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A．B．C．D．5.方程eq\r(x＋102＋y2)－eq\r(x－102＋y2)＝12的化简结果为()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1B．eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1(x＞0)D．eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1(x＞0)在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为()A.B.C.D.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2 B．C．4 D．设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9.双曲线过点，离心率为，则该双曲线的标准方程为（） B. C. D.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①②④ B．②③ C．①② D．②③④11.若动圆的圆心在抛物线y＝eq\f(1,12)x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点()A．(0,2)B．(0，－3)C．(0,3)D．(0,6)12.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，则曲线C的方程为．23453.24.87.314．已知，的取值如右表：若与线性相关，且回归直线方程为，则实数的值为__________．双曲线的右焦点到直线的距离为________．某三棱锥的三视图如右图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则的最大值为________.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本题满分10分）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?18.(本小题满分12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；分数段x：y1：12：13：44：5（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.（本题满分12分）设椭圆的离心率，过点A（1，）.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆C被直线截得的弦长.（本题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，，，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．（本题满分12分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.（1）求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．

参考答案一．选择题：共12小题.（每小题5分，共计60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1-6CACBCD7-12BDBACC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.14．8.716三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?【答案】（1）甲、乙的平均数、中位数分别为{75，73}、{75，74}；（2）甲成绩稳定.【分析】（1）应用平均值、中位数的求法，求几个数的平均数、中位数；（2）应用方差的求法求甲、乙的方差，根据方差的大小确定选派人选.【详解】（1）甲的平均数为=(68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位数为(72+74)÷2=73，乙的平均数为=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位数为(73+75)÷2=74.（2）甲的方差为s12=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+(72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+(85-75)2]÷8=35.5，乙的方差为s22=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2]÷8=41，∵s12<s22，∴甲成绩稳定.又∵=∴派甲参加比较合适.18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段x：y1：12：13：44：5【解析】（1）（2）平均分为（3）数学成绩在内的人数为人．数学成绩在外的人数为人．19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【解析】（1）证明：取的中点，连接、，∵、分别是、的中点，∴，且，∵，是的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，平面，∴平面；（2）∵，，，∴，∴三棱锥的体积.（本题满分12分）设椭圆的离心率，过点A（1，）.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆C被直线截得的弦长.【解析】（1）因为，所以①，将A（1，）代入得②，又③，由①②③解得，所以椭圆的方程为；（2）弦长为（本题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，，，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【解析】（1）因为底面，所以，又，所以，又，为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）解法一：由（1）可知，为二面角的平面角，所以，又，，，所以，过点作于，则平面且为中点，连接，则为直线与平面所成的角，在中，，，所以，故，所以直线与平面所成的角为60°．解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得，，，，设，（），则，，，因为，，，所以，解得，所以，故，设平面的法向量为，因为，，由，得，令，则，所以为平面的一个法向量，所以，故直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为60°．（本题满分12分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．解析：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由题意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴eq\f(2k2＋4,k2)＝6，∴k2＝1，即k＝±1，∴直线l的方程为y＝±(x－1)．(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率kBD＝eq\f(y2＋y1,x2－x1)＝eq\f(y2＋y1,\f(y\o\al(2,2),4)－\f(y\o