高数上-2012年11月8日条子题

195页思考题B1p180-4(3)B1p181-

用达布定理证明柯西中值定 相减等价代换 书上181页1、请问第5题可否直接求出其导29题（1）可否用一下方法明a

x,

sinb

x,

cossin

cosb,ab2b1p181-

2Pxx2显

1x2

4P2

P1

P1

P2根据Rolle定理

2,1,x21,1,x312, 使Px1

0,Px2

0,Px3

Px

是三次方程多三个根

Px

的三个根b1p181-(1

fx x 则fx x0,1.又fx

在 连续,所fxf0(2fx x x又fx所

在

连续fx

f0

即arctan

arcsin

x,,11x2辅助函则

gx

ex

x,ga

gb

根据Rolle

ab, g

又因gx所

ex

x

fx,g

0

f

f

这意味着

fx

fx a,b

内至少有一个实B1p180-4(3)设

b a

lna

a

x

ln

fx在间ba上连续,在区间ba内可baln即

lnb

1(ab)1(ab)lnalnb1(ab) 即a

lna

a B1p181- sinAsinBsinCsinx2sinA2A,sinB2B,sinC2

A

BC195页思考limn

1

e, ,tn解 tn

n

limn

1

e

1tt 1tt又因为ln1tt,et1

t,

所11

1tte

e

ln1ttt2

ee1ln1t1

e

1ln1t 从此U等式式串的两端11

1tte

e

ln1ttt2232再用洛必达法232

ln1ttt2

2t

联合(1),(2),(3)即limn

1

1 b1pP187-22lime

令t

1,2x2

0

t

lim t

1 tt 50 50tt t

t

b1pP187-11别对两个分式求极回答通分,直接相减 属于不确定能计lim

1

y1 ln令xy 则lim

1

limx1

ln

limxx1lnx1

xlnx1limxx1lnx1

lnx1

如果在x

fx,gxhx

都是无穷小量,并且

x

f1x

gx

g1xfx

gx

fxgx

f1xg1xx

hx

x

hx

gx

g1xx0f

x

f1x所以

fxgxx

hx

fxgx

f1xg1xx

f1xg1x

hx解

fx1gx

f1x

xfxfx1

fx1g1x

fx

lim1gx

lim flim

xxfxf

f1x

lim1g1x

x

f1x因limgx

g1xx0

fx

x0

f1x gx

x

gx

gx

x0g1x

lim x0

fx

fx

fx

x0

f1x x0f1x从此U等式串的两端即limgx

g1xx0故

fx

x0

f1xxfxlim1xfx

1limg lim1g1x

x0fx11x0fx1x

f1x

x0f1x又limfx

于x0

f1x

fx1gx

f1x

x

f1x

xfxfxf11

fx1g1x

x0

hxb1pP188-lim1x2ex2

lim1x2ex2ux2

xsin3

lim1ue

limeu 2u212b1p187-limxlnx

lnx

xx00

x

x00

b1p187-第一步用 抬起

tanx2x

lime2xlntanx2 x x2 第二步准2u2原

lime2ulncotu第三步指数部分的极limucotulim

,u所以cotu 1,ulimulncotulimuln limulnu第四步指数部分的极限抬起2x2

tanx2x

lime2ulncotuu00

b1p187-令x

则ylimyarcsinylimyarcsin

sin3

y3limsinxxlim

3x2

6 63x2

b1p181-证法分两步一步于任意给的

fa

fb, 假定fa fb的特殊

a,b使得f

事实上因

fxfa

faxa0

x所以x

与 充分接时，

fx

fa

；同理fb知x 且 与 充接近时

fx

fb

fx在端点ab处不取最小值．fx

连续，它在闭区间[a上有最小值．所

a,b使得

axb

x

据值必要

f

第二步一般情 fa

fb.令Fx

fx

则FxFaFb

fxfafb

对Fx 用已经证明的特殊况结果a,b即

使得F

f

0f

证法二考虑存在一段弦的斜率此、构造各弦的斜率并用作函fxfa

,,x(a,,Fx..

xafa,xfbfx

,x[a,Gx

bxfb,x由条件

FxGx 均[a 上连续由连续函数的中值定理

Fx

可以取Fa 也就

Fb

之间的一切值,Fx

可以取

fa fbfaba

之间的一切Gx

可以取fbfaba

到fb

之间的分两种情fa

fbf

fxfa xfbfaba

fb

fxfaxa再用微分中值定

a,b,使得f

fxfaxa

引申用定理证明柯西中值定fbfagbga

fg.反证.

xa,b,fxgx

fbfagbga记fbfagbga记

Fx

fx

gx.则fxgx则

Fx

fx

gx

0,xa,b.根据定理

Fx a,b

内不变

Fx [a 上严格增加或严格下是FbFafb

gb

f

a

gafb.

a

gb

ga

.故a,b, 使.fbfagbga

fgb1p216-设fx

ab

上连续a,b

上二阶可

f

x

xab, fa

fb

证明

x

xa,b.证因为f

x

fxab

上不变号fx

严格单调增加或严格单下降都.b1p216-xxxx1 x

fa

fbxxxxxx22

1

4x

xx2xx2

2,

11

x. xx2xx2

404xx2xx2

11xx2 xx2xxxx2

x0

4lim4xxx2x

x

lim b1p216-设fx

ab

上连续a,b

上二阶可xx1xx1 x

fb

cab,

使得

c

求证

ab, 使f

x0图所

ac, 使f

fc

c,b,

ca使f

fc

对fx

cb应用拉格朗日

12, 使f

x0

f2f12

引申

fx ,

上二阶可导lim

x

lim

x

又

使得

c

使得f

x0

x2 ，使

c

，且满fx1

fc,

fx2fc又fx 在,存在二阶导数，

fx

分别x1,c, c,x2日中值定理得

上应用拉格

x1c, 使f

fc

c,x2,

使f

fc

对fx

x2应用拉格朗日

12, 使f

x0

f2f12

b1p216-8证明：若函

fx于有限ab

内可微，但则其导函

fx

也命题是否成立请证明或举反例用反证法

fx

ab内有界

M 使fx

xa,b.由拉格朗日中值定x0x之间存在 fx

x0

f

x

Mba从fx

fx0

fx

x0

Mba故fx

fx0

Mba.此与已

fx

相．fx 逆命题不一定正确．例fx

sin

0

内有界,x2但其导,x2fx却

1cos2xx2xfx

lnx

在1, 内界，但其导函

fx在区间1

内却是xxb1p216-设fx 在, 内lim

x

limx

x求fc

c , 使证法一Alim

x

limx

x.如果

x

结论显然成否则x0

使得

x0A.则不妨则

fx0

(如图所记

fx0A,A,

fx0因为lim1x1

x

所

x

使得

x

, 据连续函数中间值定 fxfx xxx, 使得fx

同理,因

lim2x2

x

所

x

使得

x

.根据连续函数中间值定 fxfx xxx,

x2

在闭区间x1x2

Rolle值定cx1,x2,

使得fc

证法二变量替换

tant,

,

, 辅助函def

A,

2gt2

ftant,t

, 2 A,t2gt

,

,

可导， gg gt

,

Rolle值定知, 使 g

g

ftansec2

0ftan

于是取ctan, 即fc

评注题称为无穷区间上的罗尔b1p216-设fx

x0

h,

hh0

内可导,证明: 0 使fx0

h

x0

hx0

fx0

证法一0

t

在0h虑辅助函Ft

fx0

t

x0

t显然Ft

在0h

0h

内可导，Ft

fx0

t

fx0

t.Ft

在0h

上,应用分中值

0h, 使Fh

F0

F fx0

h

x0

hx0

fx0

h令h

,则

故fx0

h

x0

hx0

h

fx0

证法 f

hfx

h

x0

tx0

ftdt

x0

x0

t

ftdt

x0

x0

ttx0 ftdt

udu00hxh 00hh h0fx0udu0tx0x0 00 ftdt 00

x0

udthfx0h

h

x0

h h h

x0

udu

f

x0

udt hfxufxudu0 x0

fx0

0b1P217-当

fx

在[a, 上续时

fx

也在[a, 连续

fx

在[a, 有最大值此最大值为M则对x1

[a,fx2

fx1

f

x1,其中 介

之间fx2

f

x2Mx2x1以上说

fx

在[a, 满足茨条件不一定.例

fxfx2

故fx

在任一个闭区间上 茨条件,特别在上满足茨条件,

fx

上不可导,所

fx[a续

上不存在,更谈不上

fx

在 上连x2x2 fxfx2x2 因为当x10,x2 故不存

L 使 即fx

[a

上不b1P217-先不妨

a

如图所示Px

函数值为负的驻点,ap ,ap并AmaxPa1,Pa2, ,Pap,,

Px

函数值为正的驻并

BminPb1,Pb2, ,Pbq显然Ak

BPx

k全是单事实上,否则x0 使Px0k,Px0这时

k

则一方面因

Px

函数值为正的驻点,Px0另一方面

Px0k 同理

k

则一方面因

Px

函数值为负的驻点,Px0另一方面

Px0k 今已

Px

全是单Ab又0

b

Ac 故Px

全是单根即Px

全是单根再考虑

a

时 PxPx这Pb

Pab

Pxba

Px 全a

b0

ca

b根据特殊情况的证明结Px

c

全是单根Px

全是单求

axbxcx31

x11lnaxbxcx1x0因

abc 3

lime x0axbxcx

1

axbxcx

1,

axbxcx

所ln

axbxcx3 ln1

axbxcx

1

axbxcx

lim

ln1

axbxcx

2x0 2lim

axbxcx

x0 进一步

ex1x,x 所ax1

exln

1

xlnx同bx1

xln

xcx1

xlnc,

x故lim1axbx

1lnx0

lim1ax1

bx1

cx1

lim1xln

xln

xlncx0

x0

从此U等式串的两端即lim

axbxcx

1

13x0 3联立(1)，(2),(3

1lnx0

a