2023年安徽省亳州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年安徽省亳州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.1/3B.1C.2D.3

2.

3.设f(x)为连续函数，则等于()．A.A.f(x)-f(a)B.f(a)-f(x)C.f(x)D.f(a)

4.

5.A.A.2B.1/2C.-2D.-1/26.A.-e2x-y

B.e2x-y

C.-2e2x-y

D.2e2x-y

7.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为

A.2B.-2C.3D.-3

8.

9.

10.

A.2B.1C.1/2D.0

11.设y=lnx，则y″等于()．

A.1/x

B.1/x2

C.-1/x

D.-1/x2

12.

13.设y=5x，则y'等于()．

A.A.

B.

C.

D.

14.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在

15.

16.

17.

18.设z=y2x，则等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

19.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

20.A.A.

B.e

C.e2

D.1

二、填空题(20题)21.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f'(0)=______．22.

23.

24.25.26.27.若=-2，则a=________。

28.

29.

30.设y=xe，则y'=_________.

31.

32.曲线y=x3-6x的拐点坐标为______．

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.三、计算题(20题)41.

42.

43.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

44.

45.46.求微分方程的通解．47.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．48.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.

51.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

52.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则53.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．54.证明：55.56.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．57.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．58.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

59.

60.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．四、解答题(10题)61.将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。62.求y"+4y'+4y=e-x的通解．

63.

64.求曲线y＝x2＋1在点(1，2)处的切线方程．并求该曲线与所求切线及x＝0所围成的平面图形的面积．65.66.求z=x2+y2在条件x+y=1下的条件极值．67.设y=3x+lnx，求y'．

68.

69.求∫sinxdx．70.五、高等数学(0题)71.当x→0时，tan2x是()。

A.比sin3x高阶的无穷小B.比sin3x低阶的无穷小C.与sin3x同阶的无穷小D.与sin3x等价的无穷小六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D解法1由于当x一0时，sinax～ax，可知故选D．

解法2故选D．

2.D解析：

3.C本题考查的知识点为可变限积分求导．

由于当f(x)连续时，，可知应选C．

4.D

5.B

6.C本题考查了二元函数的高阶偏导数的知识点。

7.C解析：

8.A

9.B

10.D本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质．

11.D由于Y=lnx，可得知，因此选D．

12.C

13.C本题考查的知识点为基本初等函数的求导．

y=5x，y'=5xln5，因此应选C．

14.C被积函数sin5x为奇函数，积分区间[-1，1]为对称区间。由定积分的对称性质知选C。

15.A解析：

16.B解析：

17.C

18.D本题考查的知识点为偏导数的运算．

z=y2x，若求，则需将z认定为指数函数．从而有

可知应选D．

19.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

20.C本题考查的知识点为重要极限公式．

21.0本题考查的知识点为极值的必要条件．

由于y=f(x)在点x=0可导，且x=0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f'(0)=0．

22.

本题考查的知识点为初等函数的求导运算．

本题需利用导数的四则运算法则求解．

本题中常见的错误有

这是由于误将sin2认作sinx，事实上sin2为－个常数，而常数的导数为0，即

请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为0．

23.

24.-1本题考查了洛必达法则的知识点.25.2本题考查的知识点为极限运算．

由于所给极限为“”型极限，由极限四则运算法则有

26.127.因为=a，所以a=-2。

28.

29.(1+x)2

30.(x+1)ex本题考查了函数导数的知识点。

31.

32.(0，0)本题考查的知识点为求曲线的拐点．

依求曲线拐点的一般步骤，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在点x1，x2，…，xk两侧，y"的符号是否异号．若在xk的两侧y"异号，则点(xk，f(xk)为曲线y=f(x)的拐点．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．当x=0时，y=0．

当x＜0时，y"＜0；当x＞0时，y"＞0．因此点(0，0)为曲线y=x3-6x的拐点．

本题出现较多的错误为：填x=0．这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚．拐点的定义是：连续曲线y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点．其一般形式为(x0，f(x0))，这是应该引起注意的，也就是当判定y"在x0的两侧异号之后，再求出f(x0)，则拐点为(x0，f(x0))．

注意极值点与拐点的不同之处!

33.2

34.

35.2

36.

37.(12)38.3yx3y-1

39.极大值为8极大值为8

40.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

41.由一阶线性微分方程通解公式有

42.

则

43.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

44.

45.

46.

47.

48.

列表：

说明

49.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

50.

51.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％52.由等价无穷小量的定义可知

53.

54.

55.

56.函数的定义域为

注意

57.由二重积分物理意义知

58.

59.

60.

61.62.相应的齐次方程为y"+4y'+4y=0，特征方程为r2+4r+4=0，即(r+2)2=0．特征根为r=-2(二重根)．齐次方程的通解Y=(C1+C2x)e-2x．设所给方程的特解y*=Ae-x，代入所给方程可得A=1，从而y*=e-x．故原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x+e-x．

63.64.本题考查的知识点为：求曲线的切线方程；利用定积分求平面图形的面积．

Y－2＝2(x－1)，

y＝2x．

曲线y＝x2＋1，切线y＝2x与x＝0所围成的平面图形如图3—1所示．

其面积

65.本题考查的知识点为求曲线的切线方程．切线方程为y+3=一3(x+1)，或写为3x+y+6=0．求曲线y=f(x，y)的切线方程，通常要找出切点及函数在切点处的导数值．所给问题没有给出切点，因此依已给条件找出切点是首要问题．得出切点、切线的斜率后，可依直线的点斜式方程求出切线方程．66.构造拉格朗日函数

可解得唯一组解x=1/2,y=1/2.所给问题可以解释为在直线x+y=1上求到原点的距离平方最大或最小的点．由于实际上只能存