浙江省温州市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题B卷含解析

PAGE浙江省温州市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（B卷）（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知，，则＝（）A．（1，3） B．（3，3） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣1，﹣3）2．已知复数，则z的虚部为（）A． B． C． D．3．某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是（）A．40 B．60 C．80 D．12004．同时掷两枚质地均匀的硬币，则出现两枚正面朝上的概率是（）A． B． C． D．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，b＝2，，则B等于（）A． B． C． D．6．法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高21m，底宽34m，则塔身的表面积（精确到0.01m2）是（）（可能用到的参考数据：272＝729，342＝1156）A．3674.52m2 B．2993.26m2 C．1837.26m2 D．1682.26m27．已知直线m，n分别在两个不同的平面α，β内，则下列结论成立的是（）A．若m∥n，则α∥β B．若m⊥n，则α⊥β C．若m与n相交，则α与β相交 D．若α与β相交，则m与n相交8．已知△ABC中，边AB的中线CD长为3，若对∀x∈[0，1]，恒成立，则（）A．AC＝BC B．AB＝AC C．∠ACB＝90° D．∠ABC＝90°二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．袋中装有质地均匀的红、白色球各一个，每次取一个，有放回地抽取两次，设事件A＝“第一次取到红球”，事件B＝“第一次取到白球”，下列说法正确的是（）A．A与B相等 B．A与B是互斥事件 C．A与B是对立事件 D．P（A）＝P（B）10．某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6～8小时的人数有100人 B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时 C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时 D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时11．如果，是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法正确的是（）A．若存在实数λ，μ使得，则λ＝μ＝0 B．对于平面α内任一向量，使的实数对（λ，μ）有无穷多个 C．若向量与共线（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则λ1•μ2﹣λ2•μ1＝0 D．若向量与垂直（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则λ1•λ2+μ1•μ2＝012．已知正四面体D﹣ABC，点E、F分别为棱CD、AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则下列说法不正确的是（）A．直线DA与直线MB所成角随x的增大而增大 B．直线DA与直线MB所成角随x的增大而减小 C．直线DM与平面ABD所成角随x的增大而增大 D．直线DM与平面ABD所成角随x的增大而减小三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，已知梯形A'B'C'D'是水平放置的四边形ABCD斜二测画法的直观图，梯形A'B'C'D'的面积为，∠D'A'B'＝45°，则原四边形ABCD的面积为．14．若复数，其中i为虚数单位，a∈R，则|z﹣i|的最小值为．15．截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，该同学在公路D、E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30°、45°，且∠DCE＝150°．该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700m．则山高BC为m．（该同学的身高忽略不计）16．已知四边形ABCD，AB∥CD，，AB＝2AD＝4，，点P在ABCD内部（包含边界），则PA•PB的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣2），（﹣2，1）．（1）求的值；（2）若z1是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD满足∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC，PD⊥底面ABCD．（1）设点E为PA的中点，证明：BE∥平面PDC；（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：l⊥平面PDC．19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，acosC+ccosA＝2．（1）求边b的长；（2）在①，②，③c＝2，这三个中任选一个作为补充条件，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．20．本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为、、，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为、、，三人租车时间都不会超过40分钟．（1）求甲、乙、丙三人中恰有两人租车费用为3元的概率；（2）求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率．21．已知平面向量，，满足，，．（1）求的值；（2）若，当取得最大值时，求以，为邻边的三角形面积．22．如图1，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角，AC＝3AB＝3，E是AC的中点，∠BAC的平分线交BC于点D，现沿AD将△ABC折成二面角B'﹣AD﹣C，如图2．（1）若折成直二面角B'﹣AD﹣C，求B'E的长度；（2）若∠B'DC＝90°，求直线DE与平面B'AC所成角的正弦值．

参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知，，则＝（）A．（1，3） B．（3，3） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【分析】通过平面向量加法坐标运算可解决此题．解：由，，得＝（1+2，0+3）＝（3，3）．故选：B．2．已知复数，则z的虚部为（）A． B． C． D．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．解：＝，则z的虚部为：．故选：D．3．某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是（）A．40 B．60 C．80 D．1200【分析】利用样本抽样的性质直接求解．解：某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是：n＝2×30＝60．故选：B．4．同时掷两枚质地均匀的硬币，则出现两枚正面朝上的概率是（）A． B． C． D．【分析】同时掷两枚质地均匀的硬币，利用列举法求出基本事件有4种，出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种，由此能求出出现两枚正面朝上的概率．解：同时掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），则出现两枚正面朝上的概率P＝．故选：A．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，b＝2，，则B等于（）A． B． C． D．【分析】由已知结合正弦定理，可得sinB值，进而得到答案．解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，b＝2，，∴由正弦定理得：＝，即＝，解得：sinB＝，又由0＜B≤，故B＝，故选：B．6．法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高21m，底宽34m，则塔身的表面积（精确到0.01m2）是（）（可能用到的参考数据：272＝729，342＝1156）A．3674.52m2 B．2993.26m2 C．1837.26m2 D．1682.26m2【分析】由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥体积公式求解．解：如图，正四棱锥P﹣ABCD，PO⊥底面ABCD，PO＝21m，AB＝34m，则AO＝AB＝17，所以AP＝＝，作PE⊥AB，则PE＝＝所以该四棱锥的表面积S＝4×AB×PE＝68≈1837.26故选：C．7．已知直线m，n分别在两个不同的平面α，β内，则下列结论成立的是（）A．若m∥n，则α∥β B．若m⊥n，则α⊥β C．若m与n相交，则α与β相交 D．若α与β相交，则m与n相交【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．解：m⊂α，n⊂β，若m∥n，则α∥β或α与β相交，故A错误；若m⊥n，则α∥β或α与β相交，相交也不一定平行，故B错误；若m与n相交，则α与β必有交点，得α与β相交，故C正确；若α与β相交，则m与n平行、相交或异面，故D错误．故选：C．8．已知△ABC中，边AB的中线CD长为3，若对∀x∈[0，1]，恒成立，则（）A．AC＝BC B．AB＝AC C．∠ACB＝90° D．∠ABC＝90°【分析】设P为边AB上一点，则，建立平面直角坐标系，设B（a，0），P（b，0）（b∈[0，a]），，可得恒成立，则，由此可得出结论．解：设P为边AB上一点，则依题意有，，如图，设B（a，0），P（b，0）（b∈[0，a]），，∴，则，∴＝恒成立，∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，∴恒成立，即，∴CD⊥AB，又D为AB中点，∴CA＝CB．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．袋中装有质地均匀的红、白色球各一个，每次取一个，有放回地抽取两次，设事件A＝“第一次取到红球”，事件B＝“第一次取到白球”，下列说法正确的是（）A．A与B相等 B．A与B是互斥事件 C．A与B是对立事件 D．P（A）＝P（B）【分析】利用互斥事件、对立事件、相等事件的定义判断选项A，B，C，求出A和B的概率，即可判断选项D．解：因为事件A与事件B是两个不同的事件，故选项A错误；因为事件A与事件B不同时发生，所以A与B是互斥事件，故选项B正确；因为事件A与B两个事件中必有一个发生，所以A与B是对立事件，故选项C正确；因为，故选项D正确．故选：BCD．10．某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6～8小时的人数有100人 B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时 C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时 D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时【分析】根据频率分布图，直接求解．解：由图可得，每天的平均学习时间为6～8小时的频率为0.1×2＝0.2，这1000名高中学生每天的平均学习时间为6～8小时的人数有1000×0.2＝200，故A选项错误，每天的平均学习时间为8～10小时的频率为0.25×2＝0.05×2+0.1×2+0.1×2，即该时段的频率最大，故估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为小时，故选项B正确，每天的平均学习时间为4～6小时的频率为0.05×2＝0.1，即0.1×1000＝100人，每天的平均学习时间为6～8小时的频率为0.1×2＝0.2，即0.2×1000＝200人，每天的平均学习时间为8～9.2小时的频率为0.25×0.12＝0.3，即0.3×1000＝300人，即该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，故选项C正确，每天的平均学习时间为10～12小时的频率为0.1×2＝0.2，＝．故选：BCD．11．如果，是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法正确的是（）A．若存在实数λ，μ使得，则λ＝μ＝0 B．对于平面α内任一向量，使的实数对（λ，μ）有无穷多个 C．若向量与共线（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则λ1•μ2﹣λ2•μ1＝0 D．若向量与垂直（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则λ1•λ2+μ1•μ2＝0【分析】根据向量共线判断A，C，根据平面向量基本定理判断B，根据向量垂直判断D．解：A：若λ，μ有一个不为0，不妨设λ不等于0，则＝﹣，∴与共线，这与，不共线矛盾，∴λ＝μ＝0，∴A正确，B：根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，∴B错误，C：∵与共线，∴＝λ（），∴，∴λ1μ2﹣λ2μ1＝0，∴C正确，D：∵与垂直，∴（）•（）＝0，∴（λ1λ2+λ1μ2+λ2μ1+μ2μ1）（•）＝0，∴λ1λ2+λ1μ2+λ2μ1+μ2μ1＝0，∴D错误．故选：AC．12．已知正四面体D﹣ABC，点E、F分别为棱CD、AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则下列说法不正确的是（）A．直线DA与直线MB所成角随x的增大而增大 B．直线DA与直线MB所成角随x的增大而减小 C．直线DM与平面ABD所成角随x的增大而增大 D．直线DM与平面ABD所成角随x的增大而减小【分析】因为EF∥DA，将直线DA与直线MB所成角转化为直线EF与BM所成角进行讨论．因为EF∥平面ABD，所以M点到平面ADB的距离不变，直线DM与平面ABD所成角只与DM的长度有关．解：因为E，F分别为DC，AC的中点，所以EF∥DA，所以直线DA与直线MB所成角等于直线EF与BM所成角．在等腰△BEF中，直线EF与BM所成角随着x的增大先增大，再减小，当M运动到EF中点时取到最大值，故A，B选项说法错误．设M点到平面ABD的距离为d，直线DM与平面ABD所成角为α，则sinα＝．因为EF∥平面ABD，所以随着x的增大，d保持不变，|MD|在增大，所以sinα的值在减少，即α随着x的增大而减小，故C选项说法错误，D说法正确．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，已知梯形A'B'C'D'是水平放置的四边形ABCD斜二测画法的直观图，梯形A'B'C'D'的面积为，∠D'A'B'＝45°，则原四边形ABCD的面积为2．【分析】根据水平放置的平面直观图形面积S′与原平面图形的面积S的比为1：2，由此求出即可．解：因为水平放置的平面直观图形A'B'C'D'的面积为，所以原四边形ABCD的面积为S＝2S′＝2×＝2．故答案为：2．14．若复数，其中i为虚数单位，a∈R，则|z﹣i|的最小值为．【分析】利用复数模的运算求解即可．解：因为，所以＝＝，所以|z﹣i|的最小值为．故答案为：．15．截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，该同学在公路D、E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30°、45°，且∠DCE＝150°．该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700m．则山高BC为100﹣40m．（该同学的身高忽略不计）【分析】设BC＝x，则AC＝40+x，然后利用直角三角形ACD，直角三角形ACE，结合三角函数的定义表示出CD，CE，最后在三角形CDE中，利用余弦定理列出关于x的方程求解即可．解：如图，设BC＝x，则AC＝40+x，又由已知得△ACD，△ACE为直角三角形，且∠ADC＝30°，∠AEC＝45°，所以由△ACD，△ACE为直角三角形得：＝，＝1，解得，DE＝x+40，在三角形CDE中，又∠DCE＝150°，DE＝700，由余弦定理得：CE2＝CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE，即（x+40）2+3（x+40）2＝7002，解得x＝100．故答案为：．16．已知四边形ABCD，AB∥CD，，AB＝2AD＝4，，点P在ABCD内部（包含边界），则PA•PB的最大值为7．【分析】由基本不等式可得PA•PB≤，当且仅当PA＝PB时取等号，所以当PA＝PB时，PA•PB最大，结合图象即可求解．解：因为PA•PB≤，当且仅当PA＝PB时取等号，所以当PA＝PB时，PA•PB最大，所以如图，当P在CD边，且在过AB边的中点F所作的垂直于AB的直线上时，PA•PB能取最大值，因为AD＝2，∠DAB＝，所以DE＝，所以PA＝PB＝＝，所以PA•PB＝7．故答案为：7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣2），（﹣2，1）．（1）求的值；（2）若z1是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．【分析】（1）利用复数的运算法则，结合共轭复数的定义，即可求解．（2）根据已知条件，可得实系数的一元二次方程的两虚根为共轭复数，再结合韦达定理，即可求解．解：（1）∵复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣2），（﹣2，1），∴z1＝1﹣2i，z2＝﹣2+i，∴，∴＝（1﹣2i）（﹣2﹣i）＝﹣2﹣i+4i+2i2＝﹣4+3i．（2）∵z1是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根易知也为方程x2+px+q＝0的一个根，∴，，∴p＝﹣2，q＝5．18．如图，四棱锥P﹣ABCD满足∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC，PD⊥底面ABCD．（1）设点E为PA的中点，证明：BE∥平面PDC；（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：l⊥平面PDC．【分析】（1）取AD中点F，连接EF，BF，推导出EF∥PD，BF∥CD，从而平面BEF∥平面CDP，由此能证明BE∥平面PDC．（2）推导出AD∥BC，AD⊥DC，PD⊥AD，从而AD⊥平面PDC，由AD∥BC，平面PAD与平面PBC的交线为l，得到l∥AD，由此能证明l⊥平面PDC．【解答】证明：（1）取AD中点F，连接EF，BF，∵AD＝2BC，点E为PA的中点，∴EF∥PD，BF∥CD，∵EF∩BF＝F，PD∩CD＝D，∴平面BEF∥平面CDP，∵BE⊂平面BEF，∴BE∥平面PDC．（2）∵四棱锥P﹣ABCD满足∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD∥BC，AD⊥DC，∵PD⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，∵∵PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PDC，∴AD⊥平面PDC，∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，平面PAD与平面PBC的交线为l，∴l∥AD，∴l⊥平面PDC．19．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，acosC+ccosA＝2．（1）求边b的长；（2）在①，②，③c＝2，这三个中任选一个作为补充条件，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．【分析】（1）利用余弦定理对已知等式进行化简运算，即可得解；（2）选择条件①：先由余弦定理求出c的值，再由S＝bcsinA，得解；选择条件②：先由余弦定理求出c的值，而sinB＝，再由S＝acsinB，得解；选择条件③：先由余弦定理求出cosA，而sinA＝，再由S＝bcsinA，得解．解：（1）由余弦定理和acosC+ccosA＝2，知a•+c•＝2，化简得＝2，∴b＝2．（2）选择条件①：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴7＝4+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3或﹣1（舍负），∴S＝bcsinA＝×2×3×＝＞2，故△ABC的面积S＞2成立．选择条件②：由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，∴4＝7+c2﹣2c•，化简得c2﹣2c+3＝0，∴c＝，而sinB＝＝＝，∴S＝acsinB＝×××＝＜2，故△ABC的面积S＞2不成立．选择条件③：由余弦定理知，cosA＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sinA＝＝＝，∴S＝bcsinA＝×2×2×＝＜2，故△ABC的面积S＞2不成立．20．本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为、、，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为、、，三人租车时间都不会超过40分钟．（1）求甲、乙、丙三人中恰有两人租车费用为3元的概率；（2）求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率．【分析】（1）根据已知条件，先分类讨论，再分布讨论，即可求解．解：（1）甲、乙、丙两人的租车费用恰有两个费用为3元，则有三种可能，①甲、乙两人租车费用为3元，丙不是3元，概率为，②甲、丙两人租车费用为3元，乙不是3元，概率为，③乙、丙两人租车费用为3元，甲不是3元，概率为，则、乙、丙三人中恰有两人租车费用为3元的概率为P＝．（2）由题意可得，甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别为，甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为P＝，甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率为1﹣＝．21．已知平面向量，，满足，，．（1）求的值；（2）若，当取得最大值时，求以，为邻边的三角形面积．【分析】（1）将平方，再结合已知数据即可得解；（2）设，易知当经过圆的圆心即AB的中点D时，取得最大值，再结合图形求得以为邻边的三角形面积．解：（1）∵，，，∴＝，∴，则；（2）设，则依题意，，∴点C在以AB为直径的圆周上运动，显然，当经过圆的圆心即AB的中点D时，取得最大值，此时，则，∴，∴△BCD为等边三角形，以为邻边的三角形为△BOC，∴．22．如图1，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角，AC＝3AB＝3，E是AC的中