D正项级数及审敛法

会计学1D正项级数及审敛法都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动目录上页下页返回结束第1页/共42页(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动目录上页下页返回结束第2页/共42页例1.

讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束第3页/共42页因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,2)若机动目录上页下页返回结束第4页/共42页调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动目录上页下页返回结束证明级数发散.证:例2.而发散所以原级数发散。第5页/共42页判定级数的敛散性.证:是收敛的等比级数,例3.机动目录上页下页返回结束根据级数收敛的必要条件知第6页/共42页判定级数的敛散性.证:又因为例4.机动目录上页下页返回结束根据比较判别法知即收敛

第7页/共42页定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:

据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,机动目录上页下页返回结束第8页/共42页由定理

2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若机动目录上页下页返回结束第9页/共42页是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.机动目录上页下页返回结束——比阶判别法.第10页/共42页的敛散性.～例5.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例6.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～机动目录上页下页返回结束第11页/共42页判定级数的敛散性.证:例7.机动目录上页下页返回结束原级数与p—级数有相同的敛散性。第12页/共42页判定级数的敛散性.证:例8.机动目录上页下页返回结束应用泰勒中值定理通项第13页/共42页定理4

.

比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束第14页/共42页因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而机动目录上页下页返回结束第15页/共42页例9.

讨论级数的敛散性.解:

利用达兰贝尔比值判别法级数收敛;机动目录上页下页返回结束级数发散;通项不趋于零，级数发散。第16页/共42页判定的敛散性.解一:例10.机动目录上页下页返回结束级数收敛;级数收敛;级数收敛;第17页/共42页判定的敛散性.解二:例10.机动目录上页下页返回结束所以级数收敛;级数收敛;即公比小于1的等比级数，所以级数收敛;第18页/共42页对任意给定的正数定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且机动目录上页下页返回结束第19页/共42页时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–

级数说明:但级数收敛;级数发散.机动目录上页下页返回结束第20页/共42页例11.

审敛：解:

①由定理5可知该级数收敛.机动目录上页下页返回结束②

②由定理5可知该级数收敛.①

③③由定理5可知该级数收敛.第21页/共42页定理6.

积分审敛法：

设在区间证明提示:

单调减，机动目录上页下页返回结束上非负且则级数收敛的充要条件是收敛。当有故对k求和，得则广义积分第22页/共42页例12.

判定级数的敛散性。解:

机动目录上页下页返回结束发散第23页/共42页二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足机动目录上页下页返回结束第24页/共42页证:

是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动目录上页下页返回结束第25页/共42页收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动目录上页下页返回结束第26页/共42页判定级数的敛散性.解:例14.机动目录上页下页返回结束因此为交错级数，注意：发散.第27页/共42页设则级数（）。例15.机动目录上页下页返回结束（A）提示：（B）（C）（D）原级数收敛；C据莱布尼茨判别法，第28页/共42页三、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛;均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛

.机动目录上页下页返回结束本身收敛乎？第29页/共42页定理7.

绝对收敛的级数一定收敛.证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛，证毕。且收敛,令机动目录上页下页返回结束第30页/共42页例16.

证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动目录上页下页返回结束第31页/共42页(2)令因此收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束1第32页/共42页其和分别为绝对收敛比条件收敛具有更好的性质:*定理8.

绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.说明:

证明见参考书,这里从略.*定理9.

(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.机动目录上页下页返回结束第33页/共42页例17

级数重排次序后变为发散的级数.解:

将级数重排次序为机动目录上页下页返回结束下面我们将证明①是发散的，①将①相邻三项加括弧，第34页/共42页机动目录上页下页返回结束②②的通项：正项、发散发散第35页/共42页内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动目录上页下页返回结束第36页/共42页3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动目录上页下页返回结束第37页/共42页思考与练习1.设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动目录上页下页返回结束第38页/共42页思考与练习2.设级数收敛,也收敛?提示:机动目录上页下页返回结束且则研究级数第39页/共42页补充题1.

判别级数的敛散性:解