D傅立叶级数改

会计学1D傅立叶级数改2023/1/182一、近似计算(仅讲例1,3,5)例1.

计算的近似值,精确到解:

目录上页下页结束第1页/共41页2023/1/183例3.利用求误差.解:

先把角度化为弧度(弧度)误差不超过的近似值,并估计

目录上页下页结束第2页/共41页2023/1/184例5.

计算积分的近似值,精确到解:

由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在

x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:

目录上页下页结束第3页/共41页2023/1/185二、欧拉(Euler)公式则称①收敛

,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数①绝对收敛则称①绝对收敛.由于,故知

目录上页下页结束第4页/共41页2023/1/186定义:

复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.

目录上页下页结束第5页/共41页2023/1/187（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则

目录上页下页结束第6页/共41页2023/1/188据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有

目录上页下页结束第7页/共41页2023/1/189一、三角级数及三角函数系的正交性

二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数

第十一章第七节傅里叶级数

目录上页下页结束第8页/共41页2023/1/1810一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.

目录上页下页结束第9页/共41页2023/1/1811证:同理可证:正交

,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在

目录上页下页结束定理1.

三角级数的函数系第10页/共41页2023/1/1812上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

目录上页下页结束第11页/共41页2023/1/1813二、函数展开成傅里叶级数定理2.

设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:

由定理条件,①②对①在逐项积分,得

目录上页下页结束第12页/共41页2023/1/1814(利用正交性)类似地,

用sinkx

乘①式两边,再逐项积分可得

目录上页下页结束第13页/共41页2023/1/1815叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数

目录上页下页结束第14页/共41页2023/1/1816定理3(收敛定理,展开定理)设

f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x

为间断点其中(证明略

)为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.

目录上页下页结束第15页/共41页2023/1/1817例1.

设

f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:

先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.

目录上页下页结束第16页/共41页2023/1/1818

目录上页下页结束第17页/共41页2023/1/18191)

根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.

目录上页下页结束第18页/共41页2023/1/1820例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:设

f(x)是周期为2的周期函数,它在

目录上页下页结束第19页/共41页2023/1/1821说明:

当时,级数收敛于

目录上页下页结束第20页/共41页2023/1/1822周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它

目录上页下页结束第21页/共41页2023/1/1823例3.

将函数级数.则解:

将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),

目录上页下页结束第22页/共41页2023/1/1824利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:

目录上页下页结束第23页/共41页2023/1/1825设已知又

目录上页下页结束第24页/共41页2023/1/1826三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.

对周期为2的奇函数

f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为

目录上页下页结束第25页/共41页2023/1/1827例4.

设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:

若不计周期为2的奇函数,因此

目录上页下页结束第26页/共41页2023/1/1828n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5

目录上页下页结束第27页/共41页2023/1/1829例5.

将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:是周期为2的周期偶函数,因此

目录上页下页结束第28页/共41页2023/1/18302.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成

目录上页下页结束第29页/共41页2023/1/1831例6.

将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:

先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,

目录上页下页结束第30页/共41页2023/1/1832注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.

目录上页下页结束第31页/共41页2023/1/1833再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,

目录上页下页结束第32页/共41页2023/1/1834说明:

令

x=0

可得即

目录上页下页结束第33页/共41页2023/1/1835内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:

若为间断点,则级数收敛于

目录上页下页结束第34页/共41页2023/1/18362.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:

不唯一,延拓方式不同级数就不同.机动目录上页下页返回结束思考与练习第35页/共41页2023/1/1837处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于

.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为

,

目录上页下页结束第36页/共41页2023/1/1838备用题

1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里

目录上页下页结束第37页/共41页2023/1/18392.

设是以2为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令

目录上页下页结束第38页/共41页2023/1/1840傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.

最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.

目录上页下页结束第39页/共41页2023/1/1841狄利克雷