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会计学1D梯及其与方向导数的关系方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：当与的方向一致时，第1页/共20页1.定义即其中称为向量微分算子或Nabla算子.设函数则称向量在点可微，为函数f(gradient),在点

处的梯度向量，简称梯度记作第2页/共20页其中称为向量微分算子或Nabla算子.它本身没有意义，将作用于函数f就得到一向量，即同样可定义二元函数在点处的梯度第3页/共20页注：1.方向导数可以表示成：2.若记，则利用梯度可将f在点x处的全微分写成：方向导数公式第4页/共20页例1.求二元函数在点P（-1，1）处沿方向的方向导数，并指出u在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u沿哪个方向减小的最快？沿着哪个方向u的值不变化？解：第5页/共20页(1)方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向，方向导数的最大值为u沿梯度的负向即的方向减小的最快。量为(2)(3)下面求使u的变化率为零的方向.令则：令得，此时u的值不变化。第6页/共20页例2.设函数解:(1)点P处切平面的法向量为在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考:

f在点P处沿什么方向变化率为0?注意:

对三元函数,与垂直的方向有无穷多第7页/共20页2.梯度的运算法则第8页/共20页证明：设由一元函数的链式法则，有第9页/共20页例3.证:试证处矢径r的模,第10页/共20页例4.已知位于坐标原点的点电荷q

在任意点试证证:利用例3的结果这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.第11页/共20页二、高阶偏导数1.定义如果n元函数的偏导函数在点对变量的偏导数存在，则称这个偏导数为f在点先对变量再对变量的二阶偏导数，记为：或或其中第12页/共20页例如：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数共有四个，按求导顺序不同,有其中和为二阶混合偏导数。第13页/共20页类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。第14页/共20页例5.求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及第15页/共20页反例：二者不等第16页/共20页则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)证明第1

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