D微分考研数学

会计学1D微分考研数学的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,机动目录上页下页返回结束第1页/共26页定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即机动目录上页下页返回结束第2页/共26页定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则机动目录上页下页返回结束第3页/共26页说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当机动目录上页下页返回结束第4页/共26页微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动目录上页下页返回结束第5页/共26页例如,基本初等函数的微分公式(见P115表)又如,机动目录上页下页返回结束第6页/共26页二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数机动目录上页下页返回结束第7页/共26页例1.求解:机动目录上页下页返回结束第8页/共26页例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意目录上页下页返回结束注意:数学中的反问题往往出现多值性.第9页/共26页数学中的反问题往往出现多值性,例如注意目录上页下页返回结束第10页/共26页三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:机动目录上页下页返回结束第11页/共26页特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得机动目录上页下页返回结束第12页/共26页的近似值.解:

设取则例4.求机动目录上页下页返回结束第13页/共26页的近似值.解:例5.计算机动目录上页下页返回结束第14页/共26页例6.有一批半径为1cm的球

,为了提高球面的光洁度,解:

已知球体体积为镀铜体积为V

在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,机动目录上页下页返回结束第15页/共26页四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限机动目录上页下页返回结束第16页/共26页误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算

y

值时的误差故y

的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,机动目录上页下页返回结束第17页/共26页例7.

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差.计算机动目录上页下页返回结束(mm)第18页/共26页内容小结1.微分概念

微分的定义及几何意义

可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u

是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束第19页/共26页思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.机动目录上页下页返回结束第20页/共26页2.机动目录上页下页返回结束第21页/共26页5.

设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设且则机动目录上页下页返回结束第22页/共26页作业P1221;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);

9(2);

12习题课目录上页下页返回结束第23页/共