D对坐标曲线积分

会计学1D对坐标曲线积分２定向曲线的表示注：非定向曲线参数表示为这里一定有而定向曲线表示当从连续变到时，描出由点A移动到点B的定向曲线L．显然都可能第1页/共37页３定向曲线的切向量光滑曲线上每一点都有切向量，而且都有两个方向，对定向曲线的切向量也要定向，要求切向量的的方向总与曲线的走向（曲线的方向）相一致．若曲线为当则切向量为当则切向量为第2页/共37页（二）对坐标的曲线积分的概念设一质点受如下变力作用在XOY

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动常力沿直线所作的功到点B,求移动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1引例:

变力沿曲线所作的功.第3页/共37页(1)

“大化小”.(2)

“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束第4页/共37页(3)

“近似和”(4)

“取极限”其中为n

个小弧段的最大长度机动目录上页下页返回结束第5页/共37页2.定义.设

L

为XOY平面内从A到B的一条有向曲线,在L上定义了一个向量函数机动目录上页下页返回结束在L

上沿的L

方向任意插入一点列把L

分成n个有向小弧段记点为有向弧段上任意一点,若极限第6页/共37页机动目录上页下页返回结束记作存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为向量函数或第二类曲线积分.其中L

称为积分弧段称为被积函数,或积分曲线.称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.第7页/共37页(2)(1)由定义知物理意义：沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功为方向为x-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功力注:物理意义：为方向为y-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功物理意义：故由第二类曲线积分的物理意义也得第8页/共37页(3)中是有向弧在x-轴上的投影;是有向弧在y-轴上的投影而在对弧长的曲线积分中乘的是弧长故(A)(图1)可正,可负(图2).(图2)图3中(图3)(B)定积分是第二类曲线积分的特例.

(C)对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!第9页/共37页若为空间有向曲线弧,2*.定义机动目录上页下页返回结束向量函数定义在有向曲线弧上.

若极限存在.在有向曲线弧

上对则称此极限为函数或第二类曲线积分.坐标的曲线积分,记作第10页/共37页（三）性质(2)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(3)用L－

表示L的反向弧,则则机动目录上页下页返回结束(1)线性性质第11页/共37页二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有机动目录上页下页返回结束注：把对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的下限一定是始点对应的参数，上限一定是终点对应的参数，而不管上限是否大于下限．这与对弧长的曲线积分不同第12页/共37页对应参数设分点根据定义由于对应参数同理可证机动目录上页下页返回结束证明:

下面先证第13页/共37页如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束第14页/共37页例1.计算其中L为沿抛物线解法一取x

为参数,则从点的一段.第15页/共37页例1.计算其中L为沿抛物线解法二取y

为参数,则从点的一段.注：由该题可以知道对坐标的曲线积分没有对称性第16页/共37页例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束第17页/共37页例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束第18页/共37页例4.作用,解:机动目录上页下页返回结束设质点处受力的大小与M点对原点的距离成正比，方向指向原点，求质点由沿椭圆逆时针移动到求力做的功W由题意知则其中第19页/共37页例５.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束第20页/共37页例６.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束第21页/共37页三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束设有向光滑弧L

以弧长为参数的参数方程为则有向光滑弧L切向量的方向余弦为由计算公式有第22页/共37页机动目录上页下页返回结束其中是有向弧L在(1)若记则两类曲线积分的联系切向量的方向余弦注：是有向弧L在处单位切向量.在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分故向量函数若记则有第23页/共37页例：设定向曲线L

参数方程为方向余弦为若切向量为切向量为若，则(3)要注意是定向曲线的切向量必须与曲线的方向一致．，则，则其中(2)将第二型转化为第一型曲线积分关键是求定向曲线的切向量的方向余弦，这可以通过求切向量得到第24页/共37页类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为机动目录上页下页返回结束第25页/共37页二者夹角为例７.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束第26页/共37页.例８将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束法一：又所以切向量为，所以第27页/共37页解：机动目录上页下页返回结束法二曲线参数化为由得切向量为故即故第28页/共37页1.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束第29页/共37页3.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束第30页/共37页4.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:机动目录上页下页返回结束第31页/共37页原点O

的距离成正比,1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P139例5)F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束第32页/共37页

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束思考与练习第33页/共37页备用题

1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy

面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点机动目录上页